Dimostrazione norma indotta da prodotto interno

[Marlin93]

Ciao a tutti,

sono bloccato con una dimostrazione riguardante la relazione tra norma e prodotto interno, in particolare:

"La disuguaglianza di Cauchy-Schwarz permette di dimostrare che la funzione $ ||x|| = sqrt(langlex,xrangle) $ definisce, in uno spazio con prodotto interno, una norma."

Ho provato a considerare il vettore $(x+tx)$, procedendo inserendolo in un prodotto scalare con se stesso,
($langlex+tx,x+txrangle$), ma credo di aver agito male in quanto alla fine trovo $||x|| (t+1)^2 ge 0$ e non mi sembra di avere dimostrato niente.

Qualcuno saprebbe aiutarmi?

Grazie in anticipo.

[Paolo902]

Non ho capito che cosa vuoi dimostrare: vuoi dimostrare la disuguaglianza di CS oppure, servendoti di CS, vuoi provare che \( \sqrt{\langle \cdot ,\cdot \rangle} \) è una norma?

P.S. Benvenuto nel foro.

[Marlin93]

Ciao, grazie per la celerità

"Paolo90":servendoti di CS, vuoi provare che \( \sqrt{\langle \cdot ,\cdot \rangle} \) è una norma?.

Esattamente questo

Grazie per il benvenuto, non so se ci si doveva presentare o meno

[Paolo902]

"Marlin93":
[quote="Paolo90"]servendoti di CS, vuoi provare che \( \sqrt{\langle \cdot ,\cdot \rangle} \) è una norma?.

Esattamente questo
[/quote]

Allora si tratta di far vedere che quella funzione soddisfa le proprietà di una norma. La disuguaglianza di CS serve per mostrare che vale la disuguaglianza triangolare, \( \Vert x+y \Vert \le \Vert x\Vert + \Vert y\Vert \) per ogni $x,y$ nel tuo spazio vettoriale. Che cosa hai provato a fare finora?

[Marlin93]

Avevo fatto un calcolo astruso, totalmente fuori strada per quello che era il mio scopo, nel senso che mi sono ritrovato con un risultato che non mi serviva. In ogni caso ora mi hai illuminato e ho risolto.

Grazie!