Dimostrazione nell'anello non commutativo delle matrici...

[andreajf89]

Avete idea di come si dimostri questo esercizio? ho provato con operazioni elementari ma arrivo sempre ad un vicolo cieco in cui mi tocca usare semplificzioni del tipo $AB=BC rArr B=C$, che a detta di ciò che conosco non sono ammissibili almeno nell'ambito dell'anello non commutativo delle matrici...

Siano $A,B$ in $M_n(RR)$ tale che $AB=0_m$ e $A$ è matrice invertibile. Si dimostri che $B=0_m$


un'altra cosa... volendo potrei fare un'operazione del genere?

$AB=0_m rArr (A^(-1))AB=0_m(A^(-1))$

[killing_buddha]

"andreajf89":$AB=0_m rArr (A^(-1))AB=0_m(A^(-1))$

casomai $AB=0_m rArr (A^(-1))AB=(A^(-1))0_m$...

[andreajf89]

bè a quel punto posso procedere con la dimostrazione no? metto assieme per l'associatività $(A^(-1)A)$ e trasformo questo fattore nella matrice identica $I_m$ per la proprietà delle matrici invertibili...... a quel punto essendo la matrice identica diversa sa $0$ l'unico fattore che può portare l'espressione a zero è $B$... può andar bene come ragionamento?

[Sk_Anonymous]

Il ragionamento sostanzialmente è giusto, però quando dici

"andreajf89": a quel punto essendo la matrice identica diversa sa $0$ l'unico fattore che può portare l'espressione a zero è $B

stai applicando la legge di annullamento del prodotto, che non vale in questo anello. Più semplicemente si ha:

$I_n B=0 => B=0$ perchè appunto $I_n B =B$ $ \forall B$