Dimostrazione: Matrici simili hanno gli stessi autovalori con le stesse molteplicità
Ciao a tutti!
Non riesco a capire come dimostrare che matrici simili hanno gli stessi autovalori con la stessa molteplicità geometrica.
Ho dimostrato che hanno lo stesso polinomio caratteristico, di conseguenza hanno autovalori e relative molteplicità algebriche uguali, ma non riesco a dimostrare che la molteplicità geometrica è la stessa.
Ho provato a fare così:
Due matrici A e B sono simili se esiste una matrice invertibile S tale che \(\displaystyle B=SAS^{-1} \)
Sia \(\displaystyle \lambda\) un autovalore per la funzione e sia x il suo autovettore, allora:
\(\displaystyle Ax = \lambda x \Leftrightarrow AS^{-1}x = \lambda S^{-1}x \Leftrightarrow S^{-1}SAS^{-1}x = \lambda S^{-1}x \Leftrightarrow S^{-1}Bx = \lambda S^{-1}x\)
Arrivato a questo punto non so come proseguire per dimostrare che la molteplicità geometrica è la stessa?
Qualcuno sa aiutarmi? Grazie in anticipo
Non riesco a capire come dimostrare che matrici simili hanno gli stessi autovalori con la stessa molteplicità geometrica.
Ho dimostrato che hanno lo stesso polinomio caratteristico, di conseguenza hanno autovalori e relative molteplicità algebriche uguali, ma non riesco a dimostrare che la molteplicità geometrica è la stessa.
Ho provato a fare così:
Due matrici A e B sono simili se esiste una matrice invertibile S tale che \(\displaystyle B=SAS^{-1} \)
Sia \(\displaystyle \lambda\) un autovalore per la funzione e sia x il suo autovettore, allora:
\(\displaystyle Ax = \lambda x \Leftrightarrow AS^{-1}x = \lambda S^{-1}x \Leftrightarrow S^{-1}SAS^{-1}x = \lambda S^{-1}x \Leftrightarrow S^{-1}Bx = \lambda S^{-1}x\)
Arrivato a questo punto non so come proseguire per dimostrare che la molteplicità geometrica è la stessa?
Qualcuno sa aiutarmi? Grazie in anticipo
Risposte
Sia \(\displaystyle \mathscr{U}\subseteq \mathbf{R}^n \) un sottospazio tale che \(\displaystyle A\mathscr{U}\subseteq\mathscr{U} \) (uso il corsivo per distinguerlo dalle matrici). Sia dunque \(\displaystyle S\in \mathrm{GL}(n,\mathbf{R}) \) e sia \(\displaystyle B = SAS^{-1} \). A questo punto si ricava che, dato \(\displaystyle \mathscr{V} = S\mathscr{U} \), \(\displaystyle B\mathscr{V} = SAS^{-1}S\mathscr{U} = SA\mathscr{U} \subseteq S\mathscr{U} = \mathscr{V} \).
Si noti che:
[list=a][*:2xwnu3r8] \(\displaystyle \dim\mathscr{V} = \dim\mathscr{U} \) in quanto \(\displaystyle S\in \mathrm{GL}(n,\mathbf{R}) \).[/*:m:2xwnu3r8]
[*:2xwnu3r8] Siccome \(\displaystyle S^{-2}B\mathscr{V} = S^{-1}SAS^{-1}S\mathscr{U} = A\mathscr{U} \) allora \(\displaystyle \dim B\mathscr{V} = \dim A\mathscr{U} \). In particolare \(\displaystyle A\mathscr{U} = \mathscr{U} \) se e solo se \(\displaystyle B\mathscr{V} = \mathscr{V} \). [/*:m:2xwnu3r8][/list:o:2xwnu3r8]
Fai solo attenzione che, in questo caso, \(\displaystyle A\mathscr{U} = \mathscr{U} \) non significa che \(\displaystyle Au = u \) per ogni \(\displaystyle u\in \mathscr{U} \), ma solo che \(\displaystyle Au \in \mathscr{U} \) per ogni \(\displaystyle u\in \mathscr{U} \).
Ti starai chiedendo come mai ho presentato questi concetti. Beh, il fatto è che gli autospazi sono fissati da \(\displaystyle A \). E che se \(\displaystyle Au = \lambda u \), allora \(\displaystyle BSu = SAS^{-1}Su = SAu = \lambda Su \). In generale quindi gli autospazi di \(\displaystyle A \) hanno la stessa dimensione degli autospazi di \(\displaystyle B \) corrispondenti. In generale vale il risultato che ho presentato prima, in particolare due matrici simili hanno la stessa decomposizione di Jordan.
Un modo alternativo e più costruttivo è il seguente: che se \(\displaystyle u \) e \(\displaystyle v \) sono vettori indipendenti allora \(\displaystyle Su \) e \(\displaystyle Sv \) sono ancora indipendenti e quindi \(\displaystyle S \) manda una base di un autospazio di \(\displaystyle A \) in una base dell'autospazio corrispondente di \(\displaystyle B \).
Si noti che:
[list=a][*:2xwnu3r8] \(\displaystyle \dim\mathscr{V} = \dim\mathscr{U} \) in quanto \(\displaystyle S\in \mathrm{GL}(n,\mathbf{R}) \).[/*:m:2xwnu3r8]
[*:2xwnu3r8] Siccome \(\displaystyle S^{-2}B\mathscr{V} = S^{-1}SAS^{-1}S\mathscr{U} = A\mathscr{U} \) allora \(\displaystyle \dim B\mathscr{V} = \dim A\mathscr{U} \). In particolare \(\displaystyle A\mathscr{U} = \mathscr{U} \) se e solo se \(\displaystyle B\mathscr{V} = \mathscr{V} \). [/*:m:2xwnu3r8][/list:o:2xwnu3r8]
Fai solo attenzione che, in questo caso, \(\displaystyle A\mathscr{U} = \mathscr{U} \) non significa che \(\displaystyle Au = u \) per ogni \(\displaystyle u\in \mathscr{U} \), ma solo che \(\displaystyle Au \in \mathscr{U} \) per ogni \(\displaystyle u\in \mathscr{U} \).
Ti starai chiedendo come mai ho presentato questi concetti. Beh, il fatto è che gli autospazi sono fissati da \(\displaystyle A \). E che se \(\displaystyle Au = \lambda u \), allora \(\displaystyle BSu = SAS^{-1}Su = SAu = \lambda Su \). In generale quindi gli autospazi di \(\displaystyle A \) hanno la stessa dimensione degli autospazi di \(\displaystyle B \) corrispondenti. In generale vale il risultato che ho presentato prima, in particolare due matrici simili hanno la stessa decomposizione di Jordan.
Un modo alternativo e più costruttivo è il seguente: che se \(\displaystyle u \) e \(\displaystyle v \) sono vettori indipendenti allora \(\displaystyle Su \) e \(\displaystyle Sv \) sono ancora indipendenti e quindi \(\displaystyle S \) manda una base di un autospazio di \(\displaystyle A \) in una base dell'autospazio corrispondente di \(\displaystyle B \).
[ot]Purtroppo devo finire delle faccende urgenti in questo momento, giuro che torno sulla dimostrazione di vict piu' tardi o nei prossimi giorni, ma non si puo' dimostrare dicendo semplicemente due matrici quadrate di ordine \( n \) sono invertibili sse rappresentano lo stesso operatore in \( \mathbb{K}^n \)* che quindi gli autospazi non risentono in alcun modo della matrice che si usa per rappresentare l'endomorfismo?
Magari vict ha proprio scritto questo: nel caso, perdonatemi.
___
* Mi viene subito in mente, perche' qualche giorno fa c'ho sbattuto la testa pesantemente su questo fatterello.[/ot]
Magari vict ha proprio scritto questo: nel caso, perdonatemi.
___
* Mi viene subito in mente, perche' qualche giorno fa c'ho sbattuto la testa pesantemente su questo fatterello.[/ot]
X giuscri: il punto è di fatto quello, io però ho preferito farlo senza cambiare base.
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