Dimostrazione Matrici-Applicazione
Ciao a tutti!
Devo dimostrare che se $A \in M_{n}$ è una matrice quadrata allora $L_A$ è una applicazione iniettiva e $L_A$ è una applicazione suriettiva.
Qualcuno può dirmi come si dimostra ciò?
Grazie
Devo dimostrare che se $A \in M_{n}$ è una matrice quadrata allora $L_A$ è una applicazione iniettiva e $L_A$ è una applicazione suriettiva.
Qualcuno può dirmi come si dimostra ciò?
Grazie
Risposte
In questi termini non e' vero. Se $A$ e' la matrice nulla, allora $L_A$ non e' ne' iniettiva ne' suriettiva.
La cosa che e' vera e che probabilmente vuoi dimostrare e' che, se $A$ e' una matrice quadrata, allora l'applicazione lineare associata $L_A$ e' iniettiva se e solo se e' suriettiva.
Prova a pensare cosa succede ad una base dello spazio vettoriale di partenza.
La cosa che e' vera e che probabilmente vuoi dimostrare e' che, se $A$ e' una matrice quadrata, allora l'applicazione lineare associata $L_A$ e' iniettiva se e solo se e' suriettiva.
Prova a pensare cosa succede ad una base dello spazio vettoriale di partenza.
"Pappappero":
In questi termini non e' vero. Se $A$ e' la matrice nulla, allora $L_A$ non e' ne' iniettiva ne' suriettiva.
La cosa che e' vera e che probabilmente vuoi dimostrare e' che, se $A$ e' una matrice quadrata, allora l'applicazione lineare associata $L_A$ e' iniettiva se e solo se e' suriettiva.
Prova a pensare cosa succede ad una base dello spazio vettoriale di partenza.
Il fatto che è iniettiva implica che $Ker(L_A)={0}$ e il fatto che è suriettiva implica che $dim(Im(L_A))=dimW$ dove $W$ è il codominio di $L_A$.
Ma oltre a ciò non saprei come dimostrare.
Supponi che $L_A$ sia iniettiva, e prova a pensare a cosa succede a una base dello spazio vettoriale di partenza. Puoi provare a dimostrare che l'immagine di una base attraverso $L_A$ e' una base dello spazio di arrivo.
"Pappappero":
Supponi che $L_A$ sia iniettiva, e prova a pensare a cosa succede a una base dello spazio vettoriale di partenza. Puoi provare a dimostrare che l'immagine di una base attraverso $L_A$ e' una base dello spazio di arrivo.
Il fatto che è iniettiva significa che $Ker(L)=0$ e quindi i vettori che hanno immagine nulla son solo quelli banali ($v=0$). Ciò significa che le controimmagini dei vettori dell'immagine saranno nella forma $L^-1(v)=w + 0$ dalla definizione di controimmagine, ma oltre a ciò non saprei che dire.
Si ma non stai seguendo il mio suggerimento. Ti ho detto: prendi una base dello spazio di partenza, chiamiamola $v_1 , ... , v_n$. Chiamiamo $w_1,...,w_n$ le loro immagini attraverso $L_A$, quindi $w_i = L_A(v_i)$. Proviamo a dimostrare che i $w_i$ sono linearmente indipendenti.
Scriviamo una combinazione lineare nulla
\[
c_1 w_1 + ... + c_n w_n = 0
\]
e proviamo a dimostrare che tutti i $c_j$ sono zero. Per farlo ti basta scrivere i $w_i$ come $L_A(v_i)$, usare la linearita' di $L_A$ e il fatto che $L_A$ e' iniettiva.
Una volta dimostrato che i $w_i$ sono linearmente indipendenti, come possiamo dedurre che sono una base? E una volta osservato che sono una base, come possiamo dedurre che quindi $L_A$ e' suriettiva?
Scriviamo una combinazione lineare nulla
\[
c_1 w_1 + ... + c_n w_n = 0
\]
e proviamo a dimostrare che tutti i $c_j$ sono zero. Per farlo ti basta scrivere i $w_i$ come $L_A(v_i)$, usare la linearita' di $L_A$ e il fatto che $L_A$ e' iniettiva.
Una volta dimostrato che i $w_i$ sono linearmente indipendenti, come possiamo dedurre che sono una base? E una volta osservato che sono una base, come possiamo dedurre che quindi $L_A$ e' suriettiva?
"Pappappero":
Si ma non stai seguendo il mio suggerimento. Ti ho detto: prendi una base dello spazio di partenza, chiamiamola $v_1 , ... , v_n$. Chiamiamo $w_1,...,w_n$ le loro immagini attraverso $L_A$, quindi $w_i = L_A(v_i)$. Proviamo a dimostrare che i $w_i$ sono linearmente indipendenti.
Scriviamo una combinazione lineare nulla
\[
c_1 w_1 + ... + c_n w_n = 0
\]
e proviamo a dimostrare che tutti i $c_j$ sono zero. Per farlo ti basta scrivere i $w_i$ come $L_A(v_i)$, usare la linearita' di $L_A$ e il fatto che $L_A$ e' iniettiva.
Una volta dimostrato che i $w_i$ sono linearmente indipendenti, come possiamo dedurre che sono una base? E una volta osservato che sono una base, come possiamo dedurre che quindi $L_A$ e' suriettiva?
Si deducono che sono una base in quanto n vettori linearmente indipendenti se sono generatori allora sono una base di $R^n$.
$L_A$ e' suriettiva in quanto essendo una base le rispettive immagini dei vettori del dominio avranno immagini distinte nel codomio, credo. Sbaglio?
Beh...bisogna ancora dimostrare che le $w_i$ sono linearmente indipendenti. Io ti ho dato tutti gli ingredienti, ma il conto devi scriverlo tu. Concordo che una volta dimostrato che sono linearmente indipendenti allora si deduce che sono una base, in quanto il loro numero e' proprio la dimensione dello spazio vettoriale.
Non ho capito cosa hai scritto nell'ultima frase. Credo che tu non abbia le idee molto chiare su cosa vuol dire iniettiva e suriettiva, quindi ti consiglio di riscriverti le definizioni con attenzione e ragionarci.
Non ho capito cosa hai scritto nell'ultima frase. Credo che tu non abbia le idee molto chiare su cosa vuol dire iniettiva e suriettiva, quindi ti consiglio di riscriverti le definizioni con attenzione e ragionarci.
"teopd":
[...] il fatto che è suriettiva implica che $dim(Im(L_A))=dimW$ [...].
Quindi si può affermare che un'applicazione lineare è suriettiva se e solo la sua matrice associata, rispetto a una qualsiasi base, ha rango massimo
E che di conseguenza è un isomorfismo?
Si, ma solo se la matrice e' quadrata.
Se il numero di righe e' piu' grande del numero di colonne, avere rango massimo e' equivalente al fatto che l'applicazione lineare e' iniettiva.
Se il numero di righe e' piu' piccolo del numero di colonne, avere rango massimo e' equivalente al fatto che l'applicazione lineare e' suriettiva.
Se il numero di righe e' piu' grande del numero di colonne, avere rango massimo e' equivalente al fatto che l'applicazione lineare e' iniettiva.
Se il numero di righe e' piu' piccolo del numero di colonne, avere rango massimo e' equivalente al fatto che l'applicazione lineare e' suriettiva.
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