Dimostrazione linearità trasformazione

[starsuper]

Data una qualsiasi base X appartenente a $M2(C)$, vorrei dimostrare che una trasformazione lineare, espressa come:

$varphi=X+ X^t$ è lineare.

Ho pensato che deve soddisfare le 2 porprietà, additività e prodotto per uno scalare $lambda$.

Per la seconda:

$lambdaX$+ $lambdaX^t$= $lambda(X+X^t)$

ma per la prima?

In teoria già il fatto di fare la somma implica l'additività.... suggerimenti?

[starsuper]

Ho trovato anche un altro teorema che potrebbe fare al caso mio:

Controlliamo quindi che i vettori $v1,...,vn$ formino una base del nostro spazio di partenza.Basti vedere che sono LI. Allora siamo certi che esiste una trasformazione lineare completamente individuata dai dati. In generale:

Siano V e W spazi vettoriali, F = (v1,....,vn) una base di V. Allora scelti in W (w1,...,wn) vettori qualunque, esiste un'unica trasformazione lineare $varphi$ V->W tale che :

${((F(v1)=w1),(......),(F(vn)=wn))$

Vale anche per omomorfismi?


Che dite?

[Raptorista1]

Anche l'additività si dimostra in maniera simile: nel tuo caso è \(\varphi(X) = X + X^t\).
Prese allora due matrici \(X\) e \(Y\),
\[
\varphi(X+Y) = (X+Y) + (X+Y)^t = \dots = \varphi (X) + \varphi(Y) \qquad ?
\]