Dimostrazione lemma d'incollamento

[Leo S.]

Ciao a tutti, vorrei una conferma sulla bontà di questa dimostrazione del lemma d'incollamento (le mie dispense non la danno). Riporto l'enunciato per completezza:

Lemma Sia $X$ uno spazio topologico e $A$, $B$ due sottoinsiemi chiusi di $X$ tali che $A uu B = X$; siano $f:ArarrZ$ e $g:BrarrZ$ due mappe continue tali che $f(x)=g(x)$ se $x inAnnB$; allora la mappa $h(x):XrarrZ$ definita ponendo

$h(x)={(f(x)hArrx inA),(g(x)hArrx inB):}$

è continua.

Dimostrazione Sia $C$ un chiuso $sub X$. Allora si scrive

$h^(-1)(C)nn(AuuB)=(h^(-1)(C)nnA)uu(h^(-1)(C)nnB)=f^(-1)(C)uug^(-1)(C)$

Dalla continuità di $f$ segue la chiusura di $f^(-1)(C)$ in $A$ e quindi in $X$, analogamente per $g^(-1)(C)$, da cui l'asserto.

Intuitivamente questo lemma mi permette di prendere due cammini e incollarli tra di loro in modo da avere un unico serpentone (che sarebbe poi il cammino prodotto).

Fila?

[pigrecoedition]

Si, la sua dimostrazione è giusta.

[Leo S.]

Grazie della risposta (anche se il lei non è necessario )!