Dimostrazione lemma di jordan
Salve, vorrei sapere se qualcuno conosce la dimostrazione del lemma di Jordan, in particolare perchè l'integrale tra 0 e pi greco (semicirconferenza nel piano superiore) di e^(-R sen(theta)) in d(theta) per R che tende all'infinito faccia 0.
Secondo alcuni appunti dovrei spezzare l'integrale in tre parti cioè tra 0 e epslon, tra epslon e (pi greco meno epslon) e tra (pi greco meno epslon) e pi greco... Si dovrebbero fare alcune considerazioni e minorazioni che nn riesco a fare...
Se qualcuno riesce ad aiutami è un grande!
Grazie mille
Secondo alcuni appunti dovrei spezzare l'integrale in tre parti cioè tra 0 e epslon, tra epslon e (pi greco meno epslon) e tra (pi greco meno epslon) e pi greco... Si dovrebbero fare alcune considerazioni e minorazioni che nn riesco a fare...
Se qualcuno riesce ad aiutami è un grande!
Grazie mille
Risposte
Vogliamo verificare che $\int_0^(\pi) e^(- R sin \theta) d \theta < \pi / R$ per $R > 0$.
Osserviamo che nell'intervallo $0 <= \theta <= \pi / 2$ si ha $sin \theta >= (2 \theta) / \pi$, quindi $e^(-R sin \theta) <= e^(- R (2 \theta) / \pi)$.
Calcoliamo $\int_0^(\pi / 2) e^(- R sin \theta) d \theta <= \int_0^(\pi / 2) e^(- R (2 \theta) / \pi) d \theta = (\pi) / (2 R) (1 - e^(-R))$ ottenendo dunque $\int_0^(\pi / 2) e^(- R sin \theta) d \theta < \pi / (2 R)$.
Quest'ultima è identica alla disuguaglianza iniziale poichè $sin \theta$ è simmetrica rispetto all'asse verticale passante per $\pi /2$.
Vogliamo dimostrare ora il lemma di Jordan, ovvero che $lim_(R->oo) \int_(C_R) f(z) e^(i a z) dz = 0$ per $a > 0$.
Dobbiamo maggiorare il seguente integrale $\int_(C_R) f(z) e^(i a z) dz = \int_0^(\pi) f(R e^(i \theta)) e^(i a R e^(i \theta)) i R e^(i \theta) d \theta$.
Possiamo sfruttare le due disuguaglianze $|f(R e^(i \theta))| <= M_R$ e $|e^(i a R e^(i \theta))| <= e^(-i a R sin \theta)$.
Otteniamo quindi $|\int_(C_R) f(z) e^(i a z) dz| <= M_R R \int_0^(\pi) e^(- a R sin \theta) d \theta < (M_R \pi) / a$, che dimostra il lemma di Jordan poichè sappiamo che $M_R -> 0$ per $R->oo$.
Osserviamo che nell'intervallo $0 <= \theta <= \pi / 2$ si ha $sin \theta >= (2 \theta) / \pi$, quindi $e^(-R sin \theta) <= e^(- R (2 \theta) / \pi)$.
Calcoliamo $\int_0^(\pi / 2) e^(- R sin \theta) d \theta <= \int_0^(\pi / 2) e^(- R (2 \theta) / \pi) d \theta = (\pi) / (2 R) (1 - e^(-R))$ ottenendo dunque $\int_0^(\pi / 2) e^(- R sin \theta) d \theta < \pi / (2 R)$.
Quest'ultima è identica alla disuguaglianza iniziale poichè $sin \theta$ è simmetrica rispetto all'asse verticale passante per $\pi /2$.
Vogliamo dimostrare ora il lemma di Jordan, ovvero che $lim_(R->oo) \int_(C_R) f(z) e^(i a z) dz = 0$ per $a > 0$.
Dobbiamo maggiorare il seguente integrale $\int_(C_R) f(z) e^(i a z) dz = \int_0^(\pi) f(R e^(i \theta)) e^(i a R e^(i \theta)) i R e^(i \theta) d \theta$.
Possiamo sfruttare le due disuguaglianze $|f(R e^(i \theta))| <= M_R$ e $|e^(i a R e^(i \theta))| <= e^(-i a R sin \theta)$.
Otteniamo quindi $|\int_(C_R) f(z) e^(i a z) dz| <= M_R R \int_0^(\pi) e^(- a R sin \theta) d \theta < (M_R \pi) / a$, che dimostra il lemma di Jordan poichè sappiamo che $M_R -> 0$ per $R->oo$.
grazie mille, questa l'avevo trovata anch'io, solo quella che accennavo io non riesco a trovarla (cioè spezzando l'integrale in quel modo...)
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