Dimostrazione isomorfismo tra due gruppi

[Francio991]

Buonasera a tutti, avrei bisogno di aiuto con un problema di sugli isomorfismi tra gruppi. Sto studiando dall’Herstein ed uno dei corollari di un teorema recita che $dim(A+B)=dim(A)+dim(B)-dim(A nn B)$ dove $A,B$ sono sottospazi a dimensione finita di uno spazio vettoriale. La formula mi è chiara e la dimostrazione viene fatta osservando che $(A+B)/B$ è isomorfo a $A/(A nn B)$. Da questo passaggio mi è chiaro come si ricava la formula del corollario. Non riesco tuttavia a capire come si dimostra l’isomorfismo tra i due sottospazi. So che per far ciò dovrei mostrare che esiste un omomorfismo tra i due sottospazi e che questo omomorfismo è iniettivo (che equivale a dire che il nucleo dell’omomorfismo contiene solo l’elemento neutro). Sebbene la teoria mi sia chiara, non ho assolutamente idea di come si svolga una dimostrazione di questo genere, per quanto possa essere semplice. Frequento il primo anno di fisica ed a lezione, fin ora, abbiamo trattato molta teoria ma nessun esercizio quindi spero siate comprensivi

Grazie in anticipo a tutti!

[otta96]

Se conosci il primo teorema di isomorfismo per gruppi considera la funzione $\phi:A->(A+B)/B$ che manda $a$ in $a+B$.
Guarda un po' se fa al caso tuo.

[Francio991]

Ciao, intanto grazie per la risposta.

Si, conosco il teorema (proprio oggi ne ho fatto la dimostrazione) ma purtroppo continua ad essere "in aria" per me. Con gli esercizi non saprei proprio da cosa cominciare. Dovrei dimostrare che quella funzione che mi hai consigliato sia un omomorfismo? E poi come passo all'intersezione? Purtroppo mi ci sto impegnando ma trovo molta teoria e nessun quasi nessun esercizio commentato sul web (sull'herstein non ne parliamo, alcuni importanti risultati sono dati come esercizi..)

[anto_zoolander]

Penso che otta voglia dirti che se $phi:A->(A+B)/B$ è un omomorfismo allora

$A/(Ker(phi))congphi(A)$

Per il teorema fondamentale di omomorfismo(o primo di isomorfismo)

Quindi praticamente devi solo mostrare che $Ker(phi)=AcapB$ e che $phi$ è un epimorfismo

Che poi è quanto risiede nel secondo teorema di isomorfismo

[Francio991]

"anto_zoolander":Penso che otta voglia dirti che se $phi:A->(A+B)/B$ è un omomorfismo

Ciao, purtroppo il mio problema è proprio questo: come si fa, nella pratica, a mostrare che la funzione così definita è un omomorfismo?

[anto_zoolander]

Ti ricordi quale proprietà debba soddisfare una funzione tra gruppi per essere un omomorfismo?
In tal caso essendo $phi(a)=a+B$ ti basta sfruttare le proprietà delle operazioni definite sul quoziente