Dimostrazione iperpiano tangente a $n$ sfera
Ciao 
Premetto che ho adottato la seguente definizione di iperpiano tangente.
E volevo dimostrare la seguente proposizione.
sia $(A,a)_V$ uno spazio affine $n$ dimensionale e $S(C,r)$ una $n$ sfera di centro $C$ e raggio $r>0$ E $H$ un iperpiano. Supponiamo inoltre che $HcapSne emptyset$, allora:
$H$ è tangente a $S$ in $QinA$ se e solo se $H=Q+vec(CQ)$\(\displaystyle \perp \)
Io ho dimostrato <= in questo modo.
Chiamero $W$ l'ortogonale di $CQ$.
Per ipotesi $HcapS$ è non vuoto. Voglio dimostrare che $Q$ è l'unico punto dell'intersezione.
Supponiamo per assurdo che esista un $P in HcapS$ tale che $PneQ$
Poiché $P inHcapS$ allora $d(C,P)=r$ e $vec(PQ) inW$
$|PC|^2=|PQ-CQ|^2=|PQ|^2+|CQ|^2-2 PQ*CQ$
Ora per quanto constatato $PQ*CQ=0$ e $|PC|=|CQ|=r$ per tanto abbiamo che $|PQ|=0$ ma siccome siamo in uno spazio euclideo $PQ=vec(0)$ ovvero $P=Q$.
Ora non riesco a mostrare l'altro lato della proposizione.
Dimostrando questo viene semplice anche dimostrare che l'iperpiano tangente a una $n$ sfera è unico, ma non ho idee.
Io sono arrivato a questo.
Posto $Sigma=Q+W$ allora sappiamo che $dimH=dimSigma$ e $HcapSigma ne emptyset$ poiché $QinHcapSigma$.
Per concludere mi basta dimostrare, che in generale, sono paralleli.
So che due iperpiani in generale o sono paralleli o si intersecano in un sottospazio affine di dimensione $n-2$.
Devo dimostrare dunque che non possono dunque essere incidenti.
Mi aiutereste?
Premetto che ho adottato la seguente definizione di iperpiano tangente.
E volevo dimostrare la seguente proposizione.
sia $(A,a)_V$ uno spazio affine $n$ dimensionale e $S(C,r)$ una $n$ sfera di centro $C$ e raggio $r>0$ E $H$ un iperpiano. Supponiamo inoltre che $HcapSne emptyset$, allora:
$H$ è tangente a $S$ in $QinA$ se e solo se $H=Q+vec(CQ)$\(\displaystyle \perp \)
Io ho dimostrato <= in questo modo.
Chiamero $W$ l'ortogonale di $CQ$.
Per ipotesi $HcapS$ è non vuoto. Voglio dimostrare che $Q$ è l'unico punto dell'intersezione.
Supponiamo per assurdo che esista un $P in HcapS$ tale che $PneQ$
Poiché $P inHcapS$ allora $d(C,P)=r$ e $vec(PQ) inW$
$|PC|^2=|PQ-CQ|^2=|PQ|^2+|CQ|^2-2 PQ*CQ$
Ora per quanto constatato $PQ*CQ=0$ e $|PC|=|CQ|=r$ per tanto abbiamo che $|PQ|=0$ ma siccome siamo in uno spazio euclideo $PQ=vec(0)$ ovvero $P=Q$.
Ora non riesco a mostrare l'altro lato della proposizione.
Dimostrando questo viene semplice anche dimostrare che l'iperpiano tangente a una $n$ sfera è unico, ma non ho idee.
Io sono arrivato a questo.
Posto $Sigma=Q+W$ allora sappiamo che $dimH=dimSigma$ e $HcapSigma ne emptyset$ poiché $QinHcapSigma$.
Per concludere mi basta dimostrare, che in generale, sono paralleli.
So che due iperpiani in generale o sono paralleli o si intersecano in un sottospazio affine di dimensione $n-2$.
Devo dimostrare dunque che non possono dunque essere incidenti.
Mi aiutereste?
Risposte
Esiste sempre un riferimento affine ortonormale dove la sfera \(\mathcal S\) ha coordinate $\sum X_i^2=1$ (la somma è su $X_1,...,X_n$, e puoi vedere questa come l'affineizzazione della quadrica non-singolare reale di segnatura positiva massima, ovvero (immergendo lo spazio affine in un opportuno riferimento proiettivo) come la forma quadratica $\sum X_i^2=0$ (dove adesso la somma parte da $X_0$) in $\mathbb{RP}^n$, ovvero che rappresentando la quadrica/forma quadratica come una matrice, per la sfera tale matrice è l'identità.
Adesso è però una banalità notare che la tangente in $P$ a una quadrica \(\mathcal Q\) di matrice \(A_{\mathcal Q}\) corrisponde all'insieme dei punti $X$ tali che \(P^tA_{\mathcal Q}X=0\); è evidente che per la sfera \(A_{\mathcal Q}\) è la matrice identica di taglia $n$, e dunque che la tangente in $P$ a \(\mathcal S\) consta esattamente dei punti $X$ dell'affine tali che $P^tX=0$, ovvero esattamente di \(\langle PC\rangle^\perp\).
E' un fatto curioso che questo caratterizza le sfere in geometria euclidea: il loro spazio tangente in $P$ coincide con il sottospazio ortogonale al vettore $CP$, se $C$ è il centro della sfera (che, nel particolare riferimento ortonormale in cui la sfera ha equazione $\sum X_i=1$, riferimento in cui puoi sempre metterti, coincide con l'origine degli assi, sicché le coordinate affini del vettore $CP$ sono esattamente le coordinate affini del punto $P$).
Un bonus point: se $V$ è un qualsiasi spazio vett. finito su $\mathbb K$ defnisci una reciprocità come il dato di una proiettività [tex]\phi\colon \mathbb P(V) \longrightarrow \mathbb P(V^*)[/tex]: per il principio di dualità proiettiva essa è equivalente al dato di un isomorfismo tra [tex]V[/tex] e [tex]V^*[/tex], oppure, dato che [tex]\text{Hom}\,(V,V^*) \cong \text{Bil}(V\times V,\mathbb K)[/tex], al dato di una applicazione bilineare non degenere [tex]g[/tex] su [tex]V[/tex]. Una reciprocità si dice una polarità se [tex]g[/tex] è simmetrica (e un sistema nullo se [tex]g[/tex] è alternante).
Una reciprocità [tex]\phi[/tex] determina una biiezione tra punti e iperpiani di [tex]\mathbb P(V)[/tex]: se si tratta di una polarità, un punto [tex]P[/tex] e l'iperpiano [tex]\phi(P)[/tex] sono detti polo e polare l'uno dell'altro. Una reciprocità è una polarità o sistema nullo se e solo se per ogni [tex]P,Q \in\mathbb P(V)[/tex] si ha [tex]P\le \phi(Q) \iff Q\le \phi(P)[/tex]. [tex]P[/tex] e [tex]Q[/tex] si diranno punti coniugati secondo [tex]\phi[/tex]: da ultimo [tex]\phi[/tex] è polarità, o sistema nullo, se e solo se esiste, o non esiste, un punto [tex]P[/tex] che non sia autoconiugato (ossia che non appartenga al suo iperpiano polare).
Divertiti a dimostrare che la corrispondenza che scambia punti e iperpiani e manda $P$ nella sua polare rispetto a $\phi$ manda esattamente un punto della quadrica nell'iperpiano tangente a quel punto, e un iperpiano tangente alla quadrica nel punto di tangenza. Dove viene mandato un punto esterno? Dove viene mandato un punto interno? Dove viene mandato un iperpiano secante? Dove viene mandato un iperpiano a intersezione vuota col supporto della quadrica?
Adesso è però una banalità notare che la tangente in $P$ a una quadrica \(\mathcal Q\) di matrice \(A_{\mathcal Q}\) corrisponde all'insieme dei punti $X$ tali che \(P^tA_{\mathcal Q}X=0\); è evidente che per la sfera \(A_{\mathcal Q}\) è la matrice identica di taglia $n$, e dunque che la tangente in $P$ a \(\mathcal S\) consta esattamente dei punti $X$ dell'affine tali che $P^tX=0$, ovvero esattamente di \(\langle PC\rangle^\perp\).
E' un fatto curioso che questo caratterizza le sfere in geometria euclidea: il loro spazio tangente in $P$ coincide con il sottospazio ortogonale al vettore $CP$, se $C$ è il centro della sfera (che, nel particolare riferimento ortonormale in cui la sfera ha equazione $\sum X_i=1$, riferimento in cui puoi sempre metterti, coincide con l'origine degli assi, sicché le coordinate affini del vettore $CP$ sono esattamente le coordinate affini del punto $P$).
Un bonus point: se $V$ è un qualsiasi spazio vett. finito su $\mathbb K$ defnisci una reciprocità come il dato di una proiettività [tex]\phi\colon \mathbb P(V) \longrightarrow \mathbb P(V^*)[/tex]: per il principio di dualità proiettiva essa è equivalente al dato di un isomorfismo tra [tex]V[/tex] e [tex]V^*[/tex], oppure, dato che [tex]\text{Hom}\,(V,V^*) \cong \text{Bil}(V\times V,\mathbb K)[/tex], al dato di una applicazione bilineare non degenere [tex]g[/tex] su [tex]V[/tex]. Una reciprocità si dice una polarità se [tex]g[/tex] è simmetrica (e un sistema nullo se [tex]g[/tex] è alternante).
Una reciprocità [tex]\phi[/tex] determina una biiezione tra punti e iperpiani di [tex]\mathbb P(V)[/tex]: se si tratta di una polarità, un punto [tex]P[/tex] e l'iperpiano [tex]\phi(P)[/tex] sono detti polo e polare l'uno dell'altro. Una reciprocità è una polarità o sistema nullo se e solo se per ogni [tex]P,Q \in\mathbb P(V)[/tex] si ha [tex]P\le \phi(Q) \iff Q\le \phi(P)[/tex]. [tex]P[/tex] e [tex]Q[/tex] si diranno punti coniugati secondo [tex]\phi[/tex]: da ultimo [tex]\phi[/tex] è polarità, o sistema nullo, se e solo se esiste, o non esiste, un punto [tex]P[/tex] che non sia autoconiugato (ossia che non appartenga al suo iperpiano polare).
Divertiti a dimostrare che la corrispondenza che scambia punti e iperpiani e manda $P$ nella sua polare rispetto a $\phi$ manda esattamente un punto della quadrica nell'iperpiano tangente a quel punto, e un iperpiano tangente alla quadrica nel punto di tangenza. Dove viene mandato un punto esterno? Dove viene mandato un punto interno? Dove viene mandato un iperpiano secante? Dove viene mandato un iperpiano a intersezione vuota col supporto della quadrica?
Grazie intanto per la risposta killing.
Vorrei poter apprezzare quello che hai scritto ma purtroppo sto affrontando il corso di Geometria uno e questa definizione e proposizione diciamo che me le sono tirate fuori dal sacco, quindi ancora non posso apprendere a pieno quello da te scritto.
Vorrei poter apprezzare quello che hai scritto ma purtroppo sto affrontando il corso di Geometria uno e questa definizione e proposizione diciamo che me le sono tirate fuori dal sacco, quindi ancora non posso apprendere a pieno quello da te scritto.
Non è niente di difficile (solo, ti facevo più "anziano" almeno matematicamente): forse ti manca qualche definizione?
No mi sto svezzando ora purtroppo ahahahah
Non saprei a me sembra che sia tutto per poter concludere quella dimostrazione.
Non saprei a me sembra che sia tutto per poter concludere quella dimostrazione.
Sono quasi certo di essere riuscito a dimostrarla, quindi posto la soluzione in caso a qualcuno interessasse.
se $H$ è tangente a $S$ in $Q$ allora $H=C+_(o r t)$
Pongo $H=Q+W$. Supponiamo per assurdo che $W ne_(o r t)$ questo è equivalente al dire che non sono paralleli.
Considero $vec(n)$ il vettore normale al piano $H$ e $r: C+$ notiamo subito che $ ne $, poiché se così non fosse allora si avrebbe che $CQ=lambdavec(n)$ e quindi $CQ$ sarebbe ortogonale a tutta la giacitura di $H$ pertanto avremmo che $Wsubseteq _(o r t)$ e quindi sarebbero paralleli.
Dunque sia $N inA: rcapH={N}$ considero il punto $X inH: QN=NX$. Allora,
$|CX|^2=|CN+NX|^2=|CN|^2+|NX|^2-2 (CN)*(NX)$
Poiché $CN in$ e $NX in W$ allora $(CN)*(NX)=0$
Pertanto $|CX|^2=|CN|^2+|NQ|^2$ e poiché $CN,NQ$ sono ortogonali $|CN|^2+|NQ|^2=|CQ|^2$
Quindi $d(C,X)=|CQ|=r$ da cui segue che $X inS => X in ScapH$
E questo e l'assurdi cercato poiché avevamo supposto che $H$ fosse tangente a $S$ in $Q$.
se $H$ è tangente a $S$ in $Q$ allora $H=C+
Pongo $H=Q+W$. Supponiamo per assurdo che $W ne
Considero $vec(n)$ il vettore normale al piano $H$ e $r: C+
Dunque sia $N inA: rcapH={N}$ considero il punto $X inH: QN=NX$. Allora,
$|CX|^2=|CN+NX|^2=|CN|^2+|NX|^2-2 (CN)*(NX)$
Poiché $CN in
Pertanto $|CX|^2=|CN|^2+|NQ|^2$ e poiché $CN,NQ$ sono ortogonali $|CN|^2+|NQ|^2=|CQ|^2$
Quindi $d(C,X)=|CQ|=r$ da cui segue che $X inS => X in ScapH$
E questo e l'assurdi cercato poiché avevamo supposto che $H$ fosse tangente a $S$ in $Q$.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo