Dimostrazione: inversa dx e sx di matrice coincidenti
Cerco la dimostrazione che afferma che, se una matrice, ammette inversa destra e sinistra allora esse coincidono...Grazie
Risposte
Prova a farla te, non è troppo difficile 
Si inizia (posta $B = \text{Inversa sinistra di A}$ e $I = \text{Matrice identità}$),
$B = B\cdotI = ...$
e devi sfruttare che $A\cdotC = I$ e $B\cdotA = I$ per dimostrare $B = C$
Si inizia (posta $B = \text{Inversa sinistra di A}$ e $I = \text{Matrice identità}$),
$B = B\cdotI = ...$
e devi sfruttare che $A\cdotC = I$ e $B\cdotA = I$ per dimostrare $B = C$
Non mi viene nulla in mente, se me la puoi scrivere te ne sarei grato...Io cmq ne ho una fatta con le trasposte ma c'è un punto che non mi è chiaro
Prova a scrivere quella con le trasposte così vediamo il punto meno chiaro, una volta finito ti posto anche la mia così ne hai due
allora :
$AD = I$
$SA = I$
se $A$ ammette inversa a sinistra allora anche $A'$ lo fà
da ricordare che $(AB)'=B'A'$
DIMOSTRAZIONE
Esiste $Y : YA' = I $
$(YA')' = I'$ ----> trasposta di $I$ sempre $I$
$(A')'Y' = I $
$ AY = I$ passaggio che non capisco, non dovrebbe essere $AY' = I$
$AY = I$ e $XA = I$
$ X = XI = XAY = IY = Y$
$ Y = IY = XAY = XI = X$
finisce qui, non è molto chiara, spero che la tua lo sia
$AD = I$
$SA = I$
se $A$ ammette inversa a sinistra allora anche $A'$ lo fà
da ricordare che $(AB)'=B'A'$
DIMOSTRAZIONE
Esiste $Y : YA' = I $
$(YA')' = I'$ ----> trasposta di $I$ sempre $I$
$(A')'Y' = I $
$ AY = I$ passaggio che non capisco, non dovrebbe essere $AY' = I$
$AY = I$ e $XA = I$
$ X = XI = XAY = IY = Y$
$ Y = IY = XAY = XI = X$
finisce qui, non è molto chiara, spero che la tua lo sia
Non del tutto... in particolare, anche se ora sai che $X = Y$, chi ti dice niente su $S$ e $D$ ?
Comunque, il procedimento che hai usato nelle ultime due righe è proprio quello per dimostrare (uso le tue stesse notazioni):
$S = S\cdotI = S\cdot(AD) = (SA)\cdotD = I\cdotD = D$, dove abbiamo usato soltanto che $D$ è l'inversa destra, $S$ l'inversa sinistra e che il prodotto di matrici è associativo
Comunque, il procedimento che hai usato nelle ultime due righe è proprio quello per dimostrare (uso le tue stesse notazioni):
$S = S\cdotI = S\cdot(AD) = (SA)\cdotD = I\cdotD = D$, dove abbiamo usato soltanto che $D$ è l'inversa destra, $S$ l'inversa sinistra e che il prodotto di matrici è associativo
scusa ho sbagliato io a scrivere, nelle prime due righe è cosi $AX = I$ e $YA = I$ e non $AD = I$ e $SA = I$
il punto che non capisco è questo : $(YA')' = I'$ ----> $(A')'Y' = I$ ----> $AY = I$ (non dovrebbe essere invece $AY' = I$ ?? )
il punto che non capisco è questo : $(YA')' = I'$ ----> $(A')'Y' = I$ ----> $AY = I$ (non dovrebbe essere invece $AY' = I$ ?? )
Perché usi le trasposte così inutilmente? La dimostrazione di Gatto non usa affatto le trasposte, né ci sono reali ragioni di usarle dato che l'unicità dell'inverso in un gruppo si può dimostrare usando solo gli assiomi di gruppo (e la trasposta non ha certamente nessun legame con esse).
"Crazylemon":
scusa ho sbagliato io a scrivere, nelle prime due righe è cosi $AX = I$ e $YA = I$ e non $AD = I$ e $SA = I$
il punto che non capisco è questo : $(YA')' = I'$ ----> $(A')'Y' = I$ ----> $AY = I$ (non dovrebbe essere invece $AY' = I$ ?? )
Evidenzierei che $(YA^t)^t = I^t = I \Rightarrow AY^t = I$ (ho semplificato) ma il passaggio successivo E' SBAGLIATO. Tra l'altro deve venire esattamente quello perché se $Y$ è l'inverso di $A^t$ allora $Y^t$ è l'inverso di $A$. Non stiamo lavorando con matrici ortogonali o simili...
Senza considerare che quello che hai scritto non dimostra proprio nulla.
si, ma qualcuno mi potrebbe gentilmente scrivere una dimostrazione esatta per intero? Grazie.
"Gatto89":
$S = S\cdotI = S\cdot(AD) = (SA)\cdotD = I\cdotD = D$
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