Dimostrazione intX è il massimo aperto contenuto in X

[manuxy84]

Sono alle prese con gli spazi topologici e ho qualche difficoltà nel capire questa dimostrazione :

$IntX$ (l'insieme dei punti interni di $X$ dove $X$ è un sottoinsieme di uno spazio topologico $S$) è un aperto, anzi è il massimo degli aperti contenuti in $X$.

Proviamo innanzitutto che $IntX$ è un aperto facendo vedere che è intono di ogni suo punto (e fin qui ci sono)
cioè che se $x in IntX$ esiste un intorno di $X$ contenuto in $IntX$ (ma non dovrebbe essere che per ogni $x in IntX$ esiste un aperto che contiene $x$ ed è contenuto in $IntX$ ???)
Per definizione di interno esiste un intorno $U$ di $x$ tale che $x in U$ e $U sube X$. Ma ogni punto $y in U$ è interno ad $X$ cioè la tesi. (???)
Se poi $A$ è un aperto qualsiasi contenuto in $X$, si ha che ogni punto di $A$ è inteno ad $X$, quindi $A sube IntX$ (perché???? perchè se $A$ è aperto allora è intorno di ogni suo punto, quindi è intorno di se stesso ed è contenuto in $X$, quindi esiste un intorno di $A$ contenuto in $X$ e per definizione di intorno $A sube IntX$ ???)

Help!!! Grazie

[dissonance]

"manuxy84":
cioè che se $x in IntX$ esiste un intorno di $X$ contenuto in $IntX$ (ma non dovrebbe essere che per ogni $x in IntX$ esiste un aperto che contiene $x$ ed è contenuto in $IntX$ ???)

Fa lo stesso. Tieni conto che, per "intorno di $x$", alcuni intendono "insieme contenente un aperto contenente $x$", altri "aperto contenente $x$". Quindi troverai spesso piccole discrepanze nelle definizioni come questa. All'atto pratico non cambia granché, basta capirsi. Nel seguito uso la prima definizione, come mi pare di capire fai anche tu.

"manuxy84":Per definizione di interno esiste un intorno $U$ di $x$ tale che $x in U$ e $U sube X$. Ma ogni punto $y in U$ è interno ad $X$ cioè la tesi. (???)

Certo. Hai mostrato che, dato $x\in"Int"X$ esiste $U$ intorno di $x$ contenuto in $"Int"X$. Ma allora $"Int"X$ è esso stesso intorno di $x$. (Nota - una proprietà degli intorni facilissima da dimostrare: sia $T$ spazio topologico, $x\inT$, $A$ un intorno di $x$ e $A\sub B \sub T$. Allora anche $B$ è un intorno di $x$).

"manuxy84":Se poi $A$ è un aperto qualsiasi contenuto in $X$, si ha che ogni punto di $A$ è inteno ad $X$, quindi $A sube IntX$ (perché????

Basta tradurre in formule quello che hai scritto a parole. Sia $a\inA$. Allora $A$ è un intorno di $a$ ed è anche $A\subX$. Quindi $a\in "Int"X$. Dovendo valere questo per ogni $a\inA$, $A\sub"Int"X$.

[EDIT] Ho corretto l'ultima formula (era "$A\subX"$).

[manuxy84]

Allora, tutto mi è chiaro prendendo per buona la prima parte, ma il fatto è che qualcosa ancora mi sfugge nella prima parte...

Ora mi hai dato conferma che c'è la definizione alternativa di intorno, e ok, ma se dobbiamo far vedere che $Int X$ è intorno di ogni suo punto, perchè cerchiamo un intorno di $X$ contenuto in $Int X$ ??? Non dovremmo cercare un intorno per ogni $x in Int X$ ??? Cosa centra $X$ ?
Cosa mi sfugge?

Grazie

[manuxy84]

Mi sono riletta tutto migliaia di volte...
A questo punto credo che ci sia un errore nella prima parte della dimostrazione che ho io:

SBAGLIATA: "cioè che se $x in IntX$ esiste un intorno di $X$ contenuto in $IntX$"
GIUSTA: "cioè che se $x in IntX$ esiste un intorno di $x$ contenuto in $IntX$"

Così le cose mi tornano tutte. Che ne pensi??

Grazie ancora

[Alexp1]

Si, sicuramente è corretto così....mi sembra molto strano che si faccia il discorso di intorno su un sottinsieme, il concetto di intorno deve essere fatto sul punto.

[dissonance]

D'accordo con Alex. Si tratta sicuramente di un errore di stampa. C'era un errore anche nel mio post precedente, l'ho corretto.