Dimostrazione iniettività se e solo se dim ker=0
Ciao, potete aiutarmi con questa dimostrazione, dal momento che non l'ho capita benissimo?
Devo dimostrare che se una applicazione lineare è iniettiva, allora il nucleo contiene solo il vettore nullo e viceversa.
1) Per ipotesi $L$ è iniettiva. Inoltre, per definizione, si ha che $L(0)=0$. Se $v$ è un altro vettore che appartiene a $kerL$, allora $L(v)=0$, cioè, per quello che ho scritto prima $L(v)=0=L(0)$, da cui deduco che $v=0$ e quindi il nucleo ha dimensione nulla. Quello che non ho capito bene è se la dimostrazione si fa per assurdo o no. Io so per ipotesi che l'applicazione è iniettiva, quindi, siccome è ovvio che $L(0)=0$, non può esistere per definizione di iniettività un altro vettore $v$ tale che $L(v)=0$; però io invece dico che esiste un vettore $v$ tale che $L(v)=0$, per cui ho contraddetto la definizione di iniettività, quindi ho fatto una dimostrazione per assurdo, o sbaglio? A questo punto però concludo che quel vettore $v$ non è altro che il vettore nullo, e quindi nonostante i miei sforzi mi è risultato che il nucleo ha lo stesso dimensione nulla. E' cosi?
2) Per ipotesi $dimkerL=0$. Supponiamo che esistano $v$ e $w$ tali che $L(v)=L(w)$, contraddicendo quindi la tesi. Ho allora che $L(v)-L(w)=0=L(v-w)$, cioè che $v-w$ è un vettore del nucleo. Ma siccome per ipotesi il nucleo contiene soltanto il vettore nullo, deve essere $v-w=0$, cioè $v=w$. Non ho capito bene perchè queste ultime parole concludono la dimostrazione. Io sono partito dall'ipotesi che il nucleo ha dimensione nulla, ho contraddetto la tesi facendo una dimostrazione per assurdo, in quanto ho posto $L(v)=L(w)$ contraddicendo appunto la definizione di iniettività, e sono arrivato a concludere che in realtà i vettori $v$ e $w$ sono uguali. Quindi, sebbene mi sia sforzato di negare la tesi, siccome sono arrivato a concludere che $v=w$, quindi, siccome non sono riuscito a contraddire la tesi, devo concludere che la tesi è giusta. Come vedete ho un pò di confusione. Grazie mille ciao
Devo dimostrare che se una applicazione lineare è iniettiva, allora il nucleo contiene solo il vettore nullo e viceversa.
1) Per ipotesi $L$ è iniettiva. Inoltre, per definizione, si ha che $L(0)=0$. Se $v$ è un altro vettore che appartiene a $kerL$, allora $L(v)=0$, cioè, per quello che ho scritto prima $L(v)=0=L(0)$, da cui deduco che $v=0$ e quindi il nucleo ha dimensione nulla. Quello che non ho capito bene è se la dimostrazione si fa per assurdo o no. Io so per ipotesi che l'applicazione è iniettiva, quindi, siccome è ovvio che $L(0)=0$, non può esistere per definizione di iniettività un altro vettore $v$ tale che $L(v)=0$; però io invece dico che esiste un vettore $v$ tale che $L(v)=0$, per cui ho contraddetto la definizione di iniettività, quindi ho fatto una dimostrazione per assurdo, o sbaglio? A questo punto però concludo che quel vettore $v$ non è altro che il vettore nullo, e quindi nonostante i miei sforzi mi è risultato che il nucleo ha lo stesso dimensione nulla. E' cosi?
2) Per ipotesi $dimkerL=0$. Supponiamo che esistano $v$ e $w$ tali che $L(v)=L(w)$, contraddicendo quindi la tesi. Ho allora che $L(v)-L(w)=0=L(v-w)$, cioè che $v-w$ è un vettore del nucleo. Ma siccome per ipotesi il nucleo contiene soltanto il vettore nullo, deve essere $v-w=0$, cioè $v=w$. Non ho capito bene perchè queste ultime parole concludono la dimostrazione. Io sono partito dall'ipotesi che il nucleo ha dimensione nulla, ho contraddetto la tesi facendo una dimostrazione per assurdo, in quanto ho posto $L(v)=L(w)$ contraddicendo appunto la definizione di iniettività, e sono arrivato a concludere che in realtà i vettori $v$ e $w$ sono uguali. Quindi, sebbene mi sia sforzato di negare la tesi, siccome sono arrivato a concludere che $v=w$, quindi, siccome non sono riuscito a contraddire la tesi, devo concludere che la tesi è giusta. Come vedete ho un pò di confusione. Grazie mille ciao
Risposte
Con la tua argomentazione fai vedere che l'unico vettore ad appartenere al nucleo è il vettore nullo, quindi nessuna dimostrazione per assurdo.
Una dimostrazione per assurdo dell'implicazione f iniettiva implica kerf={0}, funziona così:
Supponiamo per assurdo che in kerf non si riduca al sol vettore nullo, allora vuol dire che esiste v diverso da 0 appartenente al nucleo, quindi f(v)=0 e anche f(0)=0, allora f non è iniettiva e questo è assurdo perchè contraddice l'ipotesi. L'assurdo è nato ipotizzando l'esistenza di un vettore v diverso dal vettore nullo facente parte del nucleo, quindi è giusto concludere che kerf si riduce al sol vettore nullo.
Osservazione: f(0)=0 non per definizione, ma è una proprietà delle applicazioni lineari.
Neanche nel secondo tuo procedimento ragioni per assurdo.
kerf={0} implica f iniettiva
L'ipotesi è kerf={0} vogliamo provare che f è iniettiva e quindi ci rifacciamo ad una delle definizioni di iniettività:
Siano u e v vettori con f(u)=f(v) dobbiamo provare che u=v [questa è proprio la definizione di iniettività]
Se f(u)=f(v) allora f(u)-f(v)=0, allora f(u-v)=0, quindi u-v appartiene al nucleo [ora applichiamo l'ipotesi] e quindi u-v=0 , allora u=v e quindi la definizione di iniettività.
Una dimostrazione per assurdo dell'implicazione f iniettiva implica kerf={0}, funziona così:
Supponiamo per assurdo che in kerf non si riduca al sol vettore nullo, allora vuol dire che esiste v diverso da 0 appartenente al nucleo, quindi f(v)=0 e anche f(0)=0, allora f non è iniettiva e questo è assurdo perchè contraddice l'ipotesi. L'assurdo è nato ipotizzando l'esistenza di un vettore v diverso dal vettore nullo facente parte del nucleo, quindi è giusto concludere che kerf si riduce al sol vettore nullo.
Osservazione: f(0)=0 non per definizione, ma è una proprietà delle applicazioni lineari.
Neanche nel secondo tuo procedimento ragioni per assurdo.
kerf={0} implica f iniettiva
L'ipotesi è kerf={0} vogliamo provare che f è iniettiva e quindi ci rifacciamo ad una delle definizioni di iniettività:
Siano u e v vettori con f(u)=f(v) dobbiamo provare che u=v [questa è proprio la definizione di iniettività]
Se f(u)=f(v) allora f(u)-f(v)=0, allora f(u-v)=0, quindi u-v appartiene al nucleo [ora applichiamo l'ipotesi] e quindi u-v=0 , allora u=v e quindi la definizione di iniettività.
Ok per la prima dimostrazione, non capisco invece la seconda. La definizione di iniettività non è che se prendo u diverso da v, f(u) è diverso da f(v)?
Non riesco a capire l'altra definizione. Se prendo v e u diversi tra loro, e verifico che f(v)=f(u) questa funzione non è iniettiva! Vi trovate? Grazie
Non riesco a capire l'altra definizione. Se prendo v e u diversi tra loro, e verifico che f(v)=f(u) questa funzione non è iniettiva! Vi trovate? Grazie
La definizione di iniettività in genere viene presentata in due modi:
u diverso da v implica f(u) diverso da f(v)
in maniera equivalente
f(u)=f(v) implica u=v
Quando si dice siano u e v vettori con f(u)=f(v) non si dice per nulla riguardo alla relazione tra u e v, non diciamo che u è diverso da v. Anzi vogliamo proprio provare che u=v.
u diverso da v implica f(u) diverso da f(v)
in maniera equivalente
f(u)=f(v) implica u=v
Quando si dice siano u e v vettori con f(u)=f(v) non si dice per nulla riguardo alla relazione tra u e v, non diciamo che u è diverso da v. Anzi vogliamo proprio provare che u=v.
Ok, grazie:)
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