Dimostrazione funzione iniettiva

[Piccy1]

Buongiorno a tutti, mi sono imbattuta in questo esercizio:
"Sia $ f:N*Rrarr R * N $
$ (m,n)rarr (n+m, m^2) $ si ricordi che $ 0in N $, determinare se l'applicazione è iniettiva e /o surgettiva"

riguardo alla surgettività non ho alcun problema, non capisco come dimostrare che sia o meno iniettiva.
Io so che f è iniettiva se manda elementi distinti in elementi distinti, ovvero data $ f: Xrarr Y $ f è iniettiva se $ x1!= x2 rArr f(x1)!= f(2) AA x1,x2in X $.
Per dimostrarlo l'unica cosa che mi viene in mente è provare a fare un esempio, però non sono certa se sia la strada giusta, perchè non includerei ogni possibile caso; qualcuno può aiutarmi?
grazie in anticipo

[feddy]

"Piccy":"Sia f:N⋅R→R⋅N

Presumo che con quel $*$ intendi il prodotto cartesiano $xx$. Quindi $f: NxxR→RxxN$

"Piccy": f:X→Y f è iniettiva se x1≠x2⇒f(x1)≠f(2)∀x1,x2∈X

Nota che $x_1≠x_2⇒f(x_1)≠f(x_2) $ $<=>$ $f(x1)=f(x_2)=>x_1=x_2$ (si dice anche contronominale).

Potresti provare a ragionare in questo modo.

"Piccy": [...] a fare un esempio, però non sono certa se sia la strada giusta, perchè non includerei ogni possibile caso;

Beh, se trovi due due x diverse tali che abbiano la stessa immagine, allora puoi già dire che non è iniettiva. Trovi cioè un controesempio

[Piccy1]

grazie per la pronta risposta
si scusa non avevo visto il simbolo di prodotto cartesiano
avevo già pensato a trovare dei controesempi ma non sono riuscita a trovarne neanche uno è questo che mi ha portato a pensare che possa essere iniettiva, ma non so come dimostrarlo

[feddy]

Usa la contro-nominale che ti ho scritto.

Trovati due immagini tramite $f$. Imponi che siano uguali e vedi questo cosa comporta.

[garnak.olegovitc1]

"Piccy":Buongiorno a tutti, mi sono imbattuta in questo esercizio:
"Sia $ f:N*Rrarr R * N $
$ (m,n)rarr (n+m, m^2) $ si ricordi che $ 0in N $, determinare se l'applicazione è iniettiva e /o surgettiva"

data una funzione \(h: G\to T\) secondo la definizione \(h\) é iniettiva se \(\forall x,y,z : (((x,y) \in h \wedge (z,y) \in h) \to x=z)\), quindi, nel tuo caso, prendi \(((m,n),(n+m,m^2)) \in f \ni ((m´,n´),(n+m,m^2))\) quindi hai $$f((m,n)))=(n+m,m^2)=f((m´,n´))=(n´+m´,m´^2)$$ hai adesso una uguaglianza tra coppie ordinate, vedi se puoi concludere quanto a te interessa, in caso contrario cerca di capire cosa te lo impedisce e ti trovi il controesempio...

[Piccy1]

ho provato ad esempio a supporre che: $ (n+m,m^2)=(-3,4) $ quindi mi sono trovata che $ (m,n)=(2,-3) $ e sono gli unici due valori che mi portano ad avere $ (-3,4) $ , ho fatto un bel po' di esempi e tutti mi portano alla stessa soluzione quindi suppongo sia iniettiva, ora non so come dimostrarlo nel caso generale

[feddy]

Come vedi quello che fai te non basta. Devi imporre che date due coppie ordinate $(m,n)$ e $(p,q)$ che stanno in $NNxxRR$, la loro immagine sia uguale. Questo cosa implica?
Nel caso non l'avessi capito, sto usando la definizione di iniettività.

[Piccy1]

siccome $ f(m,n)=(n+m,m^2)=f(p,q)=(p+q,p^2) $ mi sono messa a sistema $ { ( n+m=q+p ),( m^2=p^2 ):} $ e l'ho risolto in questo modo: dato che $ m $ e $ p $ devono appartenere ai naturali risultano essere uguali, quindi sostituendoli nella prima equazione ottengo che $ n=q $, quindi questa applicazione risulta essere iniettiva, corretto?

[feddy]

Esatto.

[Piccy1]

Grazie mille per l'aiuto ma soprattutto per la pazienza buona giornata

[feddy]

Prego