Dimostrazione forma bilineare non chiara .

[Kashaman]

Salve ragazzi, ho questa proposizione :

Sia $V$ uno spazio vettoriale su $K$ , $dim_{K}V=n>=1$. E $g \in Bil(V)$. Sono equivalenti :

1)$g$ non degenere.
2) $AA \dot(w) \in V , AA v \in V g(\dot(w),v)=0_k = > \dot(w)=0_V$
3) $AA \dot(w) \in V , AA v \in V g(v,\dot(w))=0_k = > \dot(w)=0_V$

Ho difficoltà nel capire un passaggio della dimostrazione, probabilmente il problema è molto banale ma ho un po il cervello in panne .

$1) => 2)$
Allora supponiamo che $g$ sia non degenere, ciò significa che la matrice associata a $g$ rispetto a una qualsiasi base di $V$ ha rango massimo, cioè $n$. Pertanto posto $A \in M_n(K)$ tale matrice , ne segue che $EE B \in M_n(K) : BA=I_n=AB$. (1)
Detti $\dot(w),v$ due elementi qualsiasi di $v$.
considero $X$ il vettore colonna delle componenti di $\dot(w)$ e $Y$ quello di $v$
e valutiamo $g(\dot(w),v)=0$ si ha che
$g(\dot(w),v)=0 => X^TAY=0 =>$ (1) (questa è la parte non chiara) , sui miei appunti trovo scritto , data la generalità di $\dot(w)$ è equivalente a considerare $X^TA=0$(2) poi sfruttando il fatto che $A$ è invertibile si giunge a trovare $X^T=0$ e quindi $X=0$ e quindi $w=0_v$.

Il mio dubbio è il seguente : cosa mi permette di passare da (1) e (2)? Perdonate la banalità..

[Sk_Anonymous]

Secondo me quanto hai scritto non è vero, o quantomeno c'è della confusione con i quantificatori: se infatti fosse \(\displaystyle g(w,v)=0 \quad \forall \ w, v \in V \), sarebbe certamente \(\displaystyle g \equiv 0 \) (infatti sarebbe nulla contro tutti i vettori della base canonica, e il risultato ne discenderebbe utilizzando la bilinearità della forma).

Le definizioni che conosco io sono le seguenti:
- Una forma bilineare si dice non degenere a destra se \(\displaystyle g(v,w)=0 \) per ogni \(\displaystyle v \in V \) implica \(\displaystyle w=0 \) (specularmente si ottiene la definizione di forma non degenere a sinistra);
- una forma bilineare si dice non degenere se lo è da entrambi i lati.

Qual è, dunque, la definizione di forma non degenere che ti è stata data?

[Kashaman]

Hai ragione , in effetti penso che tu abbia ragione, ci sta un errore di quantificatori. La definizione di forma non degenere che ho è la seguente.

Def : Sia $V$ uno spazio vettoriale su $K$ con $dim_kV=n>=1$
Sia $g \in Bil(V)$. E sia $B$ una base di $V$ e sia $A:=G_B(g)$ la matrice associata a $g$ rispetto alla base $B$. Si dice che $g$ è non degenere se $Rg(A)=n$. Si dice che $g$ è degenere se $Rg(A)

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[Sk_Anonymous]

Ok, quindi la tua definizione è legata alla matrice della forma.
Ora, siccome le due definizioni sono senz'altro equivalenti, potresti provare a dedurre la "mia" per esercizio. Mi pare che tramite l'esercizio in capothread si volesse raggiungere proprio questo scopo...