Dimostrazione esistenza della soluzione nei sistemi lineari

[Cavallo Goloso]

$Ax=b$ la matrice $A$ applicata ad $x$ incognite fornisce $b$ soluzioni.
posso risolvere il sistema come somma di un prodotto scalare riga per colonna:
$x_1A_1+x_2A_2+...+x_nA_n=b$ dove $A_1,A_2,...,A_n$ sono le colonne della matrice $A$
ponendo $x_1=\alpha_1,x_2=\alpha_2,...,x_n=\alpha_n$ ho
$\alpha_1A_1+\alpha_2A_2+...+\alpha_nA_n=b$
Ne segue che la soluzione esiste se e solo se b appartiene all'insieme delle combinazioni lineari di $A_1,A_2,...,A_n$ cioè $b\inL{A_1,A_2,...,A_n}$
Infatti se $b\inL{A_1,A_2,...,A_n}$
$b=\alpha_1A_1+\alpha_2A_2+...+\alpha_nA_n$
quindi esiste una n-pla di soluzioni $x=[x_1,x_2,...,x_n]^T$ tale che
$Ax=b$

Partendo dal fatto che secondo me è una dimostrazione del tipo a=b quindi b=a.. quindi senza nè capo nè coda.. secondo voi perchè pone $x_n=\alpha_n$? c'è un'altro modo per poterlo dimostrare?
grazie infinite per l'aiuto

[Sk_Anonymous]

Siano m, n interi positivi, K un campo, $A \in K^{m,n}$ e $b \in K^{m,1}$. Siano quindi $A_1, ..., A_n$ le colonne di $A$, riguardate come vettori di $K^{m,1}$.

TESI 1: se esiste $x \in K^{n,1}$ tale che $Ax = b$, allora $b \in$ span$(A_1, A_2, ..., A_n)$.

TESI 2: se $b \in$ span$(A_1, ..., A_n)$, allora esiste $x \in K^{n,1}$ tale che $Ax = b$.

A chiarire quel che è poco chiaro, tutto appare chiaramente più chiaro. Non è un fatto di circolarità, tutto sta semplicemente nel comprendere che 1 <=> 2.

[Cavallo Goloso]

quindi quel $x_n=\alpha_n$ è inutile ai fini della dimostrazione? cioè, mi basterebbe dire che 1 è vera se e solo se è vera la 2?

[Sk_Anonymous]

Sì, esattamente.