Dimostrazione enunciato endomorfismo semplice
ciao a tutti ho un altra dimostrazione che mi sta facendo perdere la testa 
Dimostrare che un endomorfismo $ L:V->V $, con $ V != {0v } $ e $ Im(L) = Ker(L) $, non è endomorfismo semplice
Vi ringrazio anticipatamente
Dimostrare che un endomorfismo $ L:V->V $, con $ V != {0v } $ e $ Im(L) = Ker(L) $, non è endomorfismo semplice
Vi ringrazio anticipatamente
Risposte
Endomorfismo semplice vuol dire che ogni autovalore è semplice? (Ovvero compare una sola volta come radice del polinomio caratteristico?)
no in teoria vuol dire che la matrice associata all' endomorfismo e diagonalizzabile, gli autovalori possono avere una qualunque molteplicità purchè tutti gli autospazzi associati ad ogni autovalore abbiano dimensione uguale alla sua molteplicità.
non so se mi sono spiegato bene...
non so se mi sono spiegato bene...
Guarda ci ho pensato un minuto solo perché sono incasinatissimo con lo studio ti scrivo comunque la mia idea 
Supponi per assurdo che sia semplice, allora in particolare diagonalizzabile, quindi esiste una base ${v_1,...,v_n}$ base di autovettori per $L$.
Ora poichè $ker(L)=Im(L)$ in particolare le dimensioni di questi sottospazi saranno $n/2$ (avendo supposto $dimV=n$) e quindi possiamo supporre, a patto di riordinare i vettori di base, che i primi $n/2$ siano associati all'autovalore $0$ (cioè appartengono al $kerL$);
Quindi: $L(v_i)=0v_i=0$ $AA i=1,...,n/2$.
Ma essendo $Im(L)=kerL$ in particolare ammetteranno la stessa base quindi possiamo supporre che $L(v_i)=v_j$ per ogni $i in n/2+1,...,n$ per qualche $j in 1,...,n/2$.
Ma i $v_i$ sono per ipotesi autovettori quindi si ha $lambda_i v_i =v_j$, cioè sono proporzionali. Il che è assurdo avendo supposto che i $v_i$ con $i=1,..,n$ siano i vettori di base di $V$.
Prova a vedere un po' se ci sono sviste o errori!
Supponi per assurdo che sia semplice, allora in particolare diagonalizzabile, quindi esiste una base ${v_1,...,v_n}$ base di autovettori per $L$.
Ora poichè $ker(L)=Im(L)$ in particolare le dimensioni di questi sottospazi saranno $n/2$ (avendo supposto $dimV=n$) e quindi possiamo supporre, a patto di riordinare i vettori di base, che i primi $n/2$ siano associati all'autovalore $0$ (cioè appartengono al $kerL$);
Quindi: $L(v_i)=0v_i=0$ $AA i=1,...,n/2$.
Ma essendo $Im(L)=kerL$ in particolare ammetteranno la stessa base quindi possiamo supporre che $L(v_i)=v_j$ per ogni $i in n/2+1,...,n$ per qualche $j in 1,...,n/2$.
Ma i $v_i$ sono per ipotesi autovettori quindi si ha $lambda_i v_i =v_j$, cioè sono proporzionali. Il che è assurdo avendo supposto che i $v_i$ con $i=1,..,n$ siano i vettori di base di $V$.
Prova a vedere un po' se ci sono sviste o errori!
Si è vero hai ragione, cavolo non ci avevo pensato gazie mille 
e gentilissimo ad avermi aiutato nonostante gli esami
e gentilissimo ad avermi aiutato nonostante gli esami
Figurati, buono studio
Non mi è chiaro il passaggio $ L(vi) = vj $ me lo rispiegheresti meglio? grazie mille.
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