Dimostrazione disuguaglianza

[fede.unive]

Salve a tutti,
è il mio primo messaggio e spero di non commettere errori... Allora mi trovo a dover dimostrare tale disuguaglianza (sono sicuro in partenza che è vera):

$(underline(u)^t \Sigma^(-1) underline(u))/((underline(u)^t \Sigma^(-1) underline(u)) (underline(r)^t \Sigma^(-1) underline(r))-(underline(u)^t \Sigma^(-1) underline(r))^2) > 0$

dove

$underline(u) = [[1],[1],[...],[1]]$

$underline(0)
$underline(r)$ e $underline(u)$ sono linearmente indipendenti, $\Sigma$ è una matrice simmetrica e definita positiva.

Allora quello che so per certo è che anche $\Sigma^(-1)$ è definita positiva, ma non è necessariamente simmetrica.
Per il numeratore posso dire che è sicuramente positivo, essendo una forma quadratica con matrice definita positiva (e poi si può parlare di forma quadratica se la matrice non è simmetrica???)?
Per il denominatore ho qualche problema...
L'unico risultato, forse utile, è scomporre il denominatore in:

$underline(r)^t \Sigma^(-1) (underline(r)underline(u)^t - underline(u)underline(r)^t)\Sigma^(-1) underline(u)$

dove $(underline(r)underline(u)^t - underline(u)underline(r)^t)$ è una matrice antisimmetrica... ma, più di questo, niente!

Qualche idea (e/o correzione)?
Grazie in anticipo

[fede.unive]

Proprio nessuna idea?

[fede.unive]

Mi correggo... se $\Sigma$ è simmetrica lo è anche, per forza, $\Sigma^(-1)$.

Giusto?

[perplesso1]

Ti dico una cosa ma potrei anche sbagliare... secondo me da $ underline(r) < underline(u) $ dovrebbe seguire $ underline(r)^t \Sigma^(-1) underline(r) < underline(u)^t \Sigma^(-1) underline(r) $ no? quindi io farei così

$(underline(u)^t \Sigma^(-1) underline(u))/((underline(u)^t \Sigma^(-1) underline(u)) (underline(r)^t \Sigma^(-1) underline(r))-(underline(u)^t \Sigma^(-1) underline(r))^2) >= $
$ (underline(u)^t \Sigma^(-1) underline(u))/((underline(u)^t \Sigma^(-1) underline(u)) (underline(u)^t \Sigma^(-1) underline(r))-(underline(u)^t \Sigma^(-1) underline(r))^2) = $
$ (underline(u)^t \Sigma^(-1) underline(u))/((underline(u)^t \Sigma^(-1) underline(r)) ( (underline(u)^t \Sigma^(-1) underline(u))-(underline(u)^t \Sigma^(-1) underline(r)))) > 0 $


perchè $ ( (underline(u)^t \Sigma^(-1) underline(u))-(underline(u)^t \Sigma^(-1) underline(r))) > 0 $

Ma non ti assicuro che sia giusto è meglio se aspetti altri commenti.

[fede.unive]

"perplesso":Ti dico una cosa ma potrei anche sbagliare... secondo me da $ underline(r) < underline(u) $ dovrebbe seguire $ underline(r)^t \Sigma^(-1) underline(r) < underline(u)^t \Sigma^(-1) underline(r) $ no? quindi io farei così

$(underline(u)^t \Sigma^(-1) underline(u))/((underline(u)^t \Sigma^(-1) underline(u)) (underline(r)^t \Sigma^(-1) underline(r))-(underline(u)^t \Sigma^(-1) underline(r))^2) >= $
$ (underline(u)^t \Sigma^(-1) underline(u))/((underline(u)^t \Sigma^(-1) underline(u)) (underline(u)^t \Sigma^(-1) underline(r))-(underline(u)^t \Sigma^(-1) underline(r))^2) = $
$ (underline(u)^t \Sigma^(-1) underline(u))/((underline(u)^t \Sigma^(-1) underline(r)) ( (underline(u)^t \Sigma^(-1) underline(u))-(underline(u)^t \Sigma^(-1) underline(r)))) > 0 $


perchè $ ( (underline(u)^t \Sigma^(-1) underline(u))-(underline(u)^t \Sigma^(-1) underline(r))) > 0 $

Ma non ti assicuro che sia giusto è meglio se aspetti altri commenti.

Ora provo a fare un po' di conti... A prescindere che tu abbia ragione o meno, grazie molte: è un'idea da cui ri-partire!!!