Dimostrazione distanza punto piano

[lollolollo1]

salve
devo dimostrare questa formula

$d(P,pi) = (|ax+by+cz+d|)/(sqrt(a^2+b^2+c^2))$

allora considero
il vettore normale del piano $ n = (a,b,c)$
$P(x,y,z)$
un generico punto del piano $P'(x_0,y_0,z_0)$

$PP' = (x-x_0)i + (y-y_0)j+ (z-z_0)k$

$d(P,pi) = ||PP'||cos(theta)$

$d(P,pi) = (||n|| ||PP'||cos(theta))/(||n||)$

$d(P,pi) = (n PP')/(||n||)$

svolgendo il prodotto scalare e definendo $d$

$d(P,pi) = (ax+by+cz+d)/sqrt(a^2+b^2+c^2)$

e il valore assoluto? come lo faccio venire fuori ?
grazie

[lollolollo1]

up

[anto_zoolander]

Te lo mostro in generale e poi lo adatti al tuo caso, magari ti servirà:

consideriamo $(A,V)$ spazio affine con $dimA=n$ e sia $S:P+W$ un iperpiano di $A$ ossia $dimS=dimA-1$ e siano $S: P+W$ e $Qnotin S$ e $R(O,B)$ un riferimento cartesiano

preso $v=PQ$ e preso $ = W^(_|_)$ è chiaro che la $d(S,Q)$ sarà la norma della proiezione ortogonale di $PQ$ lungo la direzione di $hat(n)$ e quindi sarà

$d(S,Q)=|| (PQ*hat(n))/(||hat(n)||^2) * hat(n)||=|PQ*hat(n)|/(||hat(n)||)$

se un iperpiano rispetto a un riferimento dato ha equazioni cartesiane

$S:= sum_(k=1)^(n)a_kx_k+b=0$ la sua giacitura sarà espressa dal sistema omogeneo ovvero

$sum_(k=1)^(n)a_kx_k=0=> (a_1,...,a_k)*(x_1,...,x_k)=0$

dove $x_1,...,x_k$ sono proprio le coordinate, pertanto $(a_1,...,a_k)$ è un vettore ortogonale a qualsiasi vettore della giacitura e pertanto genererà l'ortogonale, ovvero $C_R(hat(n))=(a_1,...,a_n)$

dunque posto $P:=(c_1,...,c_n)_R$ e $Q:=(y_1,...,y_n)_R$ si avrà $PQ=(y_1-c_1,...,y_n-c_n)_R$

otterrai $d(S,Q)=(|sum_(k=1)^(n)a_ky_k+b|)/sqrt(sum_(k=1)^(n)a_k^2)$

dove per $n=3$ con un punto di coordinate $Q:=(x_0,y_0,z_0)$ e piano $pi:ax+by+cz+d=0$

$d(pi,Q)=(|ax_0+by_0+cz_0+d|)/sqrt(a^2+b^2+c^2)$

bisogna solo mostrare che tale distanza sia la più piccola, ricordando che $d(S,Q):=i n f{ ||XQ||in RR : Q in S}$
ma puoi mostrarlo facilmente sfruttando le proprietà del prodotto scalare e della proiezione ortogonale

nota che si è usato in maniera forte il fatto che $R$ fosse cartesiano(ovvero base ortonormale) per passare dalla scrittura $sum_(k=1)^(n)a_kx_k=0$ a quella $(a_1,...,a_k)*(x_1,...,x_k)=0$

ciao

[lollolollo1]

grazie mille,
ma nel mio ragionamento cosa sbaglio?

[anto_zoolander]

esplicita $cos(theta)$ dovrebbe venir da se quello che manca

[lollolollo1]

come

[anto_zoolander]

$theta$ è l'angolo tra il vettore normale $hat(n)$ e il vettore $PP'$ dunque sarà

$cos(theta)=(PP'*hat(n))/(||hat(n)||*||PP'||)$

comunque ad occhio ho notato che l'errore sta quì

"lollolollo":$d(P,π)=||PP'||cos(θ)$

sei sicuro che non fosse $||cos(theta)vec(PP')||?$ perchè così uscendo il coseno ti verrebbe in valore assoluto, altrimenti ti uscirebbe una quantità il cui segno dipende da $theta$ e il segno deve essere sempre positivo.

[lollolollo1]

"anto_zoolander":$theta$ è l'angolo tra il vettore normale $hat(n)$ e il vettore $PP'$ dunque sarà

$cos(theta)=(PP'*hat(n))/(||hat(n)||*||PP'||)$

comunque ad occhio ho notato che l'errore sta quì

[quote="lollolollo"]$d(P,π)=||PP'||cos(θ)$

sei sicuro che non fosse $||cos(theta)vec(PP')||?$ perchè così uscendo il coseno ti verrebbe in valore assoluto, altrimenti ti uscirebbe una quantità il cui segno dipende da $theta$ e il segno deve essere sempre positivo.[/quote]


$||cos(theta)vec(PP')||$ dovrebbe restituirmi la distanza punto piano?

[lollolollo1]

alternativamente ho questa dimostrazione che non riesco a seguire:

questa è la retta passante per punto $P$ di cui vogliamo trovare la distanza

$(x_0,y_0,z_0)+t(a,b,c)$

con $(a,b,c)$ vettore normale

il punto di intersezione $Q$ con il piano è:

$a(x_0+ta)+b(y_0+tb)+c(z_0+ct)+d=0 $

da cui segue:

$t = -(ax_0+by_0+cz_0+d)/(a^2+b^2+c^2)$

e qui mi perdo

$PQ^2=t^2(a^2+b^2+c^2) = (ax_0+by_0+cz_0+d)^2/(a^2+b^2+c^2)$

$PQ = |ax_+by_0+cz_0+d|/(sqrt(a^2+b^2+c^2))$

[lollolollo1]

ho capito la seconda dimostrazione, appena posso la riporto con qualche passaggio in piu', a qualcuno magari potrà esse utile
grazie

[anto_zoolander]

Ci sono almeno 3-4 se non più dimostrazioni di questo fatto.
Il consiglio che posso darti è di visualizzare il tutto in $RR^3$, ti dovrebbe apparire più chiaro.