Dimostrazione: Distanza di un punto da una retta
Ciao ragà, sapreste dimostrarmi come si arriva alla formula che esprime la di stanza di un punto $P_0=(x_0, y_0)$ e una retta $y=mx + q$?
LA FORMULA FINALE E' LA SEGUENTE:
$d=|(y_0-mx_0-q)|/(sqrt(1+m^2)$
oppure
$d=|(ax_0-by_0+c)|/(sqrt(a^2+b^2)$
Per ringraziarvi vi calcolo l'equazione della retta che passa per il Punto G e parallela al piano individuato dal letto...può servire per una migliore performance e non sbagliare buco...
LA FORMULA FINALE E' LA SEGUENTE:
$d=|(y_0-mx_0-q)|/(sqrt(1+m^2)$
oppure
$d=|(ax_0-by_0+c)|/(sqrt(a^2+b^2)$
Per ringraziarvi vi calcolo l'equazione della retta che passa per il Punto G e parallela al piano individuato dal letto...può servire per una migliore performance e non sbagliare buco...
Risposte
sia
$ay+bx+c=0$ una qualsiasi retta del piano, in forma esplicita si può scrivere $y=-b/ax-c/a$
ora la retta ad essa perpendicolare passante per il punto $P(x_0,y_0)$ si dovrebbe scrivere, se non ricordo male
$y-y_0=a/b(x-x_0)$
ora risolvi il sistema
${(y=-b/ax-c/a),(y-y_0=a/b(x-x_0)):}$
calcoli le coordinate del punto di intersezione delle due rette, dopodichè applicando il teorema di pitagora calcoli la distanza tra i due punti, e dovrebbe venire quella formuletta lì. se hai fatto bene i calcoli ti dovrebbe venire un foglio protocollo di calcoli
$ay+bx+c=0$ una qualsiasi retta del piano, in forma esplicita si può scrivere $y=-b/ax-c/a$
ora la retta ad essa perpendicolare passante per il punto $P(x_0,y_0)$ si dovrebbe scrivere, se non ricordo male
$y-y_0=a/b(x-x_0)$
ora risolvi il sistema
${(y=-b/ax-c/a),(y-y_0=a/b(x-x_0)):}$
calcoli le coordinate del punto di intersezione delle due rette, dopodichè applicando il teorema di pitagora calcoli la distanza tra i due punti, e dovrebbe venire quella formuletta lì. se hai fatto bene i calcoli ti dovrebbe venire un foglio protocollo di calcoli
Molto bella la dimostrazione di Silvestro.
Propongo anche la mia.
Ricordo che la distanza tra un punto P ed una retta r è per definizione $min \{d(P,Q)\ |\ Q \in r\}$, dove $d(P,Q)$ indica la distanza tra P e Q. Insomma, la distanza tra P ed r è il minimo delle distanze di P dai punti di r.
Mi metto nella situazione in cui l'equazione della retta (sia essa r) è $y=mx+q$. Sia $P=(x_0,y_0)$. Sia $Q=(x,mx+q)$ un punto della retta r.
Allora abbiamo che la distanza al quadrato tra P e Q vale
$d(P,Q)^2 = |P-Q|^2 = (x-x_0)^2+(mx+q-y_0)^2$
Dobbiamo trovare quel x che minimizza tale quantità (minimizzare una distanza è equivalente a minimizzarne il quadrato). Tale quantità si può riscrivere così:
$d(P,Q)^2 = x^2-2x_0x+m^2x^2+2mxq-2mxy_0+f(x_0,q,y_0)$
dove $f(x_0,q,y_0)=x_0^2+q^2+y_0^2-2qy_0$ è una quantità che non dipende da x. Dobbiamo allora minimizzare $(1+m^2)x^2-2(x_0-mq+my_0)x$. Ma una quantità del tipo $ax^2+bx$ con $a>0$ è minimizzata quando $x=-b/(2a)$ (geometricamente è l'ascissa del vertice della parabola rivolta verso l'alto rappresentata dall'equazione $y=ax^2+bx$), e quindi il valore minimo è $b^2/(4a)-b^2/(2a) = -b^2/(4a)$. Nel nostro caso $a=1+m^2$ e $b=-2(x_0-mq+my_0)$, quindi la distanza al quadrato minimizzata vale
$d(P,r)^2 = d(P,Q_{min})^2 = -(x_0-mq+my_0)^2/(1+m^2)+x_0^2+q^2+y_0^2-2qy_0 = $ (... meri conti ...) $ = (q-y_0+mx_0)^2/(1+m^2)$
Estraendo le radici quadrate si ottiene il risultato.
In effetti la parte dei meri conti è quella che mi piace meno della mia dimostrazione, e quella che me la fa bocciare rispetto a quella di Silvestro.
Ciao.
Edito: faccio notare che non ho utilizzato il Calcolo nella dimostrazione: il fatto che il valore minimo di $ax^2+bx$ (qui a>0) sia quello corrispondente a $x=-b/(2a)$ si può dimostrare in maniera totalmente algebrica: $ax^2+bx = 1/a (a^2x^2+abx) = 1/a ((ax+b/2)^2-b^2/4) = (ax+b/2)^2/a-b^2/(4a) ge -b^2/(4a)$. Si ha "=" se e solo se il primo addendo (sempre positivo o nullo) è nullo, ovvero $x=-b/(2a)$.
Propongo anche la mia.
Ricordo che la distanza tra un punto P ed una retta r è per definizione $min \{d(P,Q)\ |\ Q \in r\}$, dove $d(P,Q)$ indica la distanza tra P e Q. Insomma, la distanza tra P ed r è il minimo delle distanze di P dai punti di r.
Mi metto nella situazione in cui l'equazione della retta (sia essa r) è $y=mx+q$. Sia $P=(x_0,y_0)$. Sia $Q=(x,mx+q)$ un punto della retta r.
Allora abbiamo che la distanza al quadrato tra P e Q vale
$d(P,Q)^2 = |P-Q|^2 = (x-x_0)^2+(mx+q-y_0)^2$
Dobbiamo trovare quel x che minimizza tale quantità (minimizzare una distanza è equivalente a minimizzarne il quadrato). Tale quantità si può riscrivere così:
$d(P,Q)^2 = x^2-2x_0x+m^2x^2+2mxq-2mxy_0+f(x_0,q,y_0)$
dove $f(x_0,q,y_0)=x_0^2+q^2+y_0^2-2qy_0$ è una quantità che non dipende da x. Dobbiamo allora minimizzare $(1+m^2)x^2-2(x_0-mq+my_0)x$. Ma una quantità del tipo $ax^2+bx$ con $a>0$ è minimizzata quando $x=-b/(2a)$ (geometricamente è l'ascissa del vertice della parabola rivolta verso l'alto rappresentata dall'equazione $y=ax^2+bx$), e quindi il valore minimo è $b^2/(4a)-b^2/(2a) = -b^2/(4a)$. Nel nostro caso $a=1+m^2$ e $b=-2(x_0-mq+my_0)$, quindi la distanza al quadrato minimizzata vale
$d(P,r)^2 = d(P,Q_{min})^2 = -(x_0-mq+my_0)^2/(1+m^2)+x_0^2+q^2+y_0^2-2qy_0 = $ (... meri conti ...) $ = (q-y_0+mx_0)^2/(1+m^2)$
Estraendo le radici quadrate si ottiene il risultato.
In effetti la parte dei meri conti è quella che mi piace meno della mia dimostrazione, e quella che me la fa bocciare rispetto a quella di Silvestro.
Ciao.
Edito: faccio notare che non ho utilizzato il Calcolo nella dimostrazione: il fatto che il valore minimo di $ax^2+bx$ (qui a>0) sia quello corrispondente a $x=-b/(2a)$ si può dimostrare in maniera totalmente algebrica: $ax^2+bx = 1/a (a^2x^2+abx) = 1/a ((ax+b/2)^2-b^2/4) = (ax+b/2)^2/a-b^2/(4a) ge -b^2/(4a)$. Si ha "=" se e solo se il primo addendo (sempre positivo o nullo) è nullo, ovvero $x=-b/(2a)$.
Nella formula finale prima dell'editazione, non manca un quadrato al primo membro?
"Gaal Dornick":
Nella formula finale prima dell'editazione, non manca un quadrato al primo membro?
Non so se ti riferivi a me, in ogni caso mancava un quadrato, ho editato
Una domanda:
Ma l'equazione $a(x-x_0)+b(y-y_0))=0$ non è l'equazione della retta per $P_0=(X_0,Y_0)$ e perpendicolare ad un vettore,o è il vettore perpendicolare alla retta? (non è la stessa cosa vero??)
Ho trovato anche questa dimostrazione:
Sia fissato un sistema di riferimento cartesiano ortogonale;
Sia $ax+by+c=0$ l'equazione di una retta e $P_0=(x_0,y_0)$ un punto
qualunque.
Detto $P_1=(x_1,y_1)$ un punto di $r$ deve accadere per la condizione
di appartenenza, che $ax_1+by_1+c=0$, da cui $c=-ax_1-by_1$. Sostituendo
tale valore all'equazione data si ha $a(x-x_1)+b(y-y_1)=0$.
La distanza $d(P_0,r)$ è data dal valore assoluto della proiezione del
vettore $[P_1,P_0]$ su un versore $n^{\prime}=(ai+bj)/(sqrt(a^2+b^2))$
perpendicolare alla retta $r$.
Si ha quindi
$d(P_0,r)=|[P_1,P_0] text(scalare)(ai+bj)/(sqrt(a^2+b^2))|=|(a(x_0-x_1)+b(y_0-y_1))/(sqrt(a^2+b^2))|$
Tenuto conto che $c=-ax_1-by_1$ si ottiene la formula finale
$d=|((a(x_0-x_1)+b(y_0-y_1))/(sqrt(a^2+b^2)))|$
Ma l'equazione $a(x-x_0)+b(y-y_0))=0$ non è l'equazione della retta per $P_0=(X_0,Y_0)$ e perpendicolare ad un vettore,o è il vettore perpendicolare alla retta? (non è la stessa cosa vero??)
Ho trovato anche questa dimostrazione:
Sia fissato un sistema di riferimento cartesiano ortogonale;
Sia $ax+by+c=0$ l'equazione di una retta e $P_0=(x_0,y_0)$ un punto
qualunque.
Detto $P_1=(x_1,y_1)$ un punto di $r$ deve accadere per la condizione
di appartenenza, che $ax_1+by_1+c=0$, da cui $c=-ax_1-by_1$. Sostituendo
tale valore all'equazione data si ha $a(x-x_1)+b(y-y_1)=0$.
La distanza $d(P_0,r)$ è data dal valore assoluto della proiezione del
vettore $[P_1,P_0]$ su un versore $n^{\prime}=(ai+bj)/(sqrt(a^2+b^2))$
perpendicolare alla retta $r$.
Si ha quindi
$d(P_0,r)=|[P_1,P_0] text(scalare)(ai+bj)/(sqrt(a^2+b^2))|=|(a(x_0-x_1)+b(y_0-y_1))/(sqrt(a^2+b^2))|$
Tenuto conto che $c=-ax_1-by_1$ si ottiene la formula finale
$d=|((a(x_0-x_1)+b(y_0-y_1))/(sqrt(a^2+b^2)))|$
Come si potrebbe estendere nello spazio questo problema bidimensionale?
"magliocurioso":
Come si potrebbe estendere nello spazio questo problema bidimensionale?
Semplice: la distanza $d$ del punto $(x_0,y_0,z_0)$ dal piano $ax+by+cz+h=0$ è uguale a
$d = (|a x_0 + b y_0 + c z_0 + h|)/(sqrt(a^2+b^2+c^2))$
Ovviamente mi riferivo alla dimostrazione 
Ecco, nella fretta mi sono dimenticato di scrivere questo: mi pare di aver letto su qualche dispensa che non esiste un'esplicita formula per il calcolo della distanza di un punto da una retta nello spazio [ma non ne sono sicuro al 100%] e che quindi di volta in volta bisogna ""ingegnersi un procedimento ad hoc"" per risolvere uno specifico problema. Se così è ogni volta bisognerebbe dimostrare le formule usate ma mi pare strano. Il mio dubbio è: come si potrebbe dimostrare che tale formula non esiste oppure che esiste?
"magliocurioso":
Ovviamente mi riferivo alla dimostrazione
Allora: prendo la retta perpendicolare al piano $pi: ax+by+cz+h=0$ e passante per il punto $P=(x_0;y_0;z_0)$:
$((x),(y),(z)) = ((x_0),(y_0),(z_0)) + t 1/(sqrt(a^2+b^2+c^2)) ((a),(b),(c))$
calcolo l'intersezione $Q$ con il piano e poi calcolo la lunghezza del segmento $PQ$, che coincide
con il modulo del parametro $t$.
(Ho normalizzato il vettore $((a),(b),(c))$).
"franced":
[quote="magliocurioso"]Ovviamente mi riferivo alla dimostrazione
Allora: prendo la retta perpendicolare al piano $pi: ax+by+cz+h=0$ e passante per il punto $P=(x_0;y_0;z_0)$:
$((x),(y),(z)) = ((x_0),(y_0),(z_0)) + t 1/(sqrt(a^2+b^2+c^2)) ((a),(b),(c))$
calcolo l'intersezione $Q$ con il piano e poi calcolo la lunghezza del segmento $PQ$, che coincide
con il modulo del parametro $t$.
(Ho normalizzato il vettore $((a),(b),(c))$).[/quote]
I conti sono facili: sostituendo nell'equazione cartesiana del piano $pi$ si trova che
$a (x_0 + ta/(sqrt(a^2+b^2+c^2))) + b (y_0 + tb/(sqrt(a^2+b^2+c^2))) + c (z_0 + tc/(sqrt(a^2+b^2+c^2))) + h = 0$
ricavando $t$ dall'equazione appena scritta si ottiene:
$t \cdot (1/sqrt(a^2+b^2+c^2)) \cdot (a^2+b^2+c^2) = - (ax_0 + by_0 + cz_0 + h)$
semplificando otteniamo:
$t = - (ax_0 + by_0 + cz_0 + h)/(sqrt(a^2+b^2+c^2))$
A noi interessa il modulo di $t$ per cui abbiamo:
$|t| = (|ax_0 + by_0 + cz_0 + h|)/(sqrt(a^2+b^2+c^2))$.
"Martino":
...minimizzare la parte di equazione dipendente da x...
A questo proposito, premesso che la dimostrazione di Martino, svolta, porta al risultato voluto, mi sorge un dubbio: trovando il minimo di x²(1+m)-2x(xo-m•q+m•yo), ad es. derivando e ponendo a zero, non si sta considerando il coeff. ang. m alla stregua di una costante? Perché, invece, minimizzare la distanza tra un punto ed una retta significa approssimare il segmento tra il punto e la retta a quello perpendicolare (che sarà appunto quello di lunghezza minore). In sostanza il dubbio riguarda il fatto che nella ricerca del minimo (in lunghezza) tra P e r, non si può prescindere dalla variabile m (inclinazione del segmanto)... Il mio è un dubbio. Buona giornata. Luca
In risposta al mio stesso intervento qui sopra:
Credo di aver risolto il mio dubbio: nel senso che il coefficiente angolare "m" è proprio una costante. Infatti esso si riferisce alla retta r (espressa dalla y=mx+q nel testo del problema) e non al segmento PQ. La retta r è un riferimento geometrico fisso, mentre a muoversi lungo di essa (secondo la stessa legge) è il punto P.
Nell'equazione:
x² - 2•xo•x + m²•x² + 2•m•q•x - 2•m•yo•x
di cui cercavamo il minimo, x è effettivamente l'unica variabile, mentre m (e q) sono parametri costanti della retta r. Quindi ha senso (ad esempio) derivare quest'ultima espressione rispetto ad x per cercarne il minimo.
Spero che questa, sul punto, resti l'ultima mia errata corrige... Buona sera.
Credo di aver risolto il mio dubbio: nel senso che il coefficiente angolare "m" è proprio una costante. Infatti esso si riferisce alla retta r (espressa dalla y=mx+q nel testo del problema) e non al segmento PQ. La retta r è un riferimento geometrico fisso, mentre a muoversi lungo di essa (secondo la stessa legge) è il punto P.
Nell'equazione:
x² - 2•xo•x + m²•x² + 2•m•q•x - 2•m•yo•x
di cui cercavamo il minimo, x è effettivamente l'unica variabile, mentre m (e q) sono parametri costanti della retta r. Quindi ha senso (ad esempio) derivare quest'ultima espressione rispetto ad x per cercarne il minimo.
Spero che questa, sul punto, resti l'ultima mia errata corrige... Buona sera.
Sì, mi torna tutto.
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