Dimostrazione diagonalizzazione operatore lineare
Ciao a tutti!
Qualcuno è così gentile da dimostrarmi che
f è diagonalizzabile
<=>
1. polinomio caratteristico si decompone completamente nel prodotto di fattori di 1° grado del tipo t-λ, λ reale
2. ma(λ) = mg(λ), λ autovalore per f
Per favore è urgentissimo ho l'orale a brevissimo!
Grazie a tutti!
Qualcuno è così gentile da dimostrarmi che
f è diagonalizzabile
<=>
1. polinomio caratteristico si decompone completamente nel prodotto di fattori di 1° grado del tipo t-λ, λ reale
2. ma(λ) = mg(λ), λ autovalore per f
Per favore è urgentissimo ho l'orale a brevissimo!
Grazie a tutti!
Risposte
vedi se ti piace questa dimostrazione: https://www.matematicamente.it/forum/dia ... 20criterio
Almeno di un'implicazione. L'altra dovresti comunque trovarla in giro per il forum (se non ricordo male la scrissi io in qualche altro post!)
Almeno di un'implicazione. L'altra dovresti comunque trovarla in giro per il forum (se non ricordo male la scrissi io in qualche altro post!)
Innanzitutto grazie per la risposta.
Allora, tu avevi scritto:
Avrei qualche domanda ^^
1. Perchè se f è diagonalizzabile allora $n=mg(lambda_i) <= ma(lambda_i) <= n $ $AAiin{1,...,k}$ ??
2. Perchè se $h(lambda_1)+...+h(lambda_k)=n$ vuol dire che il polinomio è interamente scomponibile in $K$? E cosa intendi per $K$?
Allora, tu avevi scritto:
"mistake89":
Sia $f$ un endomorfismo diagonalizzabile, allora $n=dimV_(lambda_1)oplus...oplusdimV_(lambda_k)<=h(lambda_1)+...+h(lambda_k)<=n$, ove $h(lambda_i)$ è la molteplicità algebrica di ogni autovalore. Segue quindi che $h(lambda_1)+...+h(lambda_k)=n$ che tradotto vuol dire esattamente che il polinomio è interamente scomponibile in $K$.
Inoltre se sottraiamo membro a membro otteniamo $(dimV_(lambda_1)-h(lambda_1))+...+(dimV_(lambda_k)-h(lambda_k))=0$. Osserviamo che sono tutte e due quantità positive non nulle, quindi per forza deve essere $dimV_(lambda_i)=h(lambda_i)$ $AAiin{1,...,k}$ cioè molteplicità algebrica e geometria coincidono.
Avrei qualche domanda ^^
1. Perchè se f è diagonalizzabile allora $n=mg(lambda_i) <= ma(lambda_i) <= n $ $AAiin{1,...,k}$ ??
2. Perchè se $h(lambda_1)+...+h(lambda_k)=n$ vuol dire che il polinomio è interamente scomponibile in $K$? E cosa intendi per $K$?
$K$ è il campo degli scalari del nostro spazio vettoriale.
1) Si dimostra che $f$ è diagonalizzabile allora la dimensione dello spazio vettoriale è pari alla somma delle molteplicità geometriche dei suoi autovalori. (Perdonami non ho tempo purtroppo di riportarti la dimostrazione!)
2) Se il nostro polinomio ha grado $n$, esisteranno al più $n$ radici contate con la loro molteplicità. Se sono proprio $n$ vuol dire che esso si fattorizza in fattori lineari. Se vuoi pensa al teorema di ruffini, se $alpha$ è radice allora $x-alpha$ divide il polinomio (che pertanto si abbassa di grado). Iterando questo procedimento, esattamente $n$ volte, per un polinomio di grado $n$ equivale a scomporlo in fattori lineari.
1) Si dimostra che $f$ è diagonalizzabile allora la dimensione dello spazio vettoriale è pari alla somma delle molteplicità geometriche dei suoi autovalori. (Perdonami non ho tempo purtroppo di riportarti la dimostrazione!)
2) Se il nostro polinomio ha grado $n$, esisteranno al più $n$ radici contate con la loro molteplicità. Se sono proprio $n$ vuol dire che esso si fattorizza in fattori lineari. Se vuoi pensa al teorema di ruffini, se $alpha$ è radice allora $x-alpha$ divide il polinomio (che pertanto si abbassa di grado). Iterando questo procedimento, esattamente $n$ volte, per un polinomio di grado $n$ equivale a scomporlo in fattori lineari.
Per il secondo punto ok! Grazie!
Per il primo non è che oggi hai un Po di tempo per la dimostrazione? Per favore è importante! Domani ho l'orale e dovrei portagli proprio queste dimostrazioni!
Per l'altra implicazione che ne dici di questa?
Abbiamo per ipotesi il polinomio interamente scomposto e le molteplicità uguali.
$p_f$$ (t) = (t-lambda_1) ....... (t-lambda_k)$
siano $lambda_1,......,lambda_k$ autovalori distinti di f
allora $p_f$$ (t) =(t-lambda_1)^(h_1) ....... (t-lambda_k)^(h_k)$
$h_i = m_a(lambda_i) AAi = 1,...,k$
In particolare: $h_1+...+h_k = n = dimV$
$AAlambda_i in Spec(f)$ sia $a_lambda_i$ base per $V_lambda_i$
$a := uuu a_lambda_i AAi=1,...,k$
$a$ è linearmente indipendente ed è una base per $V$ infatti:
$#$elementi di $a = m_g$$(lambda_1)+...+m_g$$lambda_k =$ (per la 2° ipotesi) $h_1+...+h_k = n = dimV$
Poichè in $a$ ci sono solo autovettori:
$M^a_a (f) = $ matrice diagonale che ha nella diagonale principale $lambda_1.......lambda_1lambda2.......lambda_2......$ ecc..
Quindi f è diagonalizzabile perchè abbiamo trovato $M^a_a (f) $ diagonale ed una base per $V$ formata da autovettori.
Che ne dici?
Così per la prima implicazione porto la tua mentre per la secondo porto questa.
Pensi che manchi qualcosa? Vorrei puntare più in alto possibile visto che ho la possibilità di arrivare a 30!
Grazie comunque
Per il primo non è che oggi hai un Po di tempo per la dimostrazione? Per favore è importante! Domani ho l'orale e dovrei portagli proprio queste dimostrazioni!
Per l'altra implicazione che ne dici di questa?
Abbiamo per ipotesi il polinomio interamente scomposto e le molteplicità uguali.
$p_f$$ (t) = (t-lambda_1) ....... (t-lambda_k)$
siano $lambda_1,......,lambda_k$ autovalori distinti di f
allora $p_f$$ (t) =(t-lambda_1)^(h_1) ....... (t-lambda_k)^(h_k)$
$h_i = m_a(lambda_i) AAi = 1,...,k$
In particolare: $h_1+...+h_k = n = dimV$
$AAlambda_i in Spec(f)$ sia $a_lambda_i$ base per $V_lambda_i$
$a := uuu a_lambda_i AAi=1,...,k$
$a$ è linearmente indipendente ed è una base per $V$ infatti:
$#$elementi di $a = m_g$$(lambda_1)+...+m_g$$lambda_k =$ (per la 2° ipotesi) $h_1+...+h_k = n = dimV$
Poichè in $a$ ci sono solo autovettori:
$M^a_a (f) = $ matrice diagonale che ha nella diagonale principale $lambda_1.......lambda_1lambda2.......lambda_2......$ ecc..
Quindi f è diagonalizzabile perchè abbiamo trovato $M^a_a (f) $ diagonale ed una base per $V$ formata da autovettori.
Che ne dici?
Così per la prima implicazione porto la tua mentre per la secondo porto questa.
Pensi che manchi qualcosa? Vorrei puntare più in alto possibile visto che ho la possibilità di arrivare a 30!
Grazie comunque
Sì, è la dimostrazione che conosco anch'io!
@mistake89: scusa ma Marix ha fretta per cui in coscienza ho voluto intervenire!
@mistake89: scusa ma Marix ha fretta per cui in coscienza ho voluto intervenire!
Ok, ti riporto il tutto sperando di non commettere errori
Lemma: $f in End(V)$ e sia $Sp(f)={lamda_1,...,lambda_k}$
Allora $f$ è diagonalizzabile se e solo se $dimV_(lambda_1)+...+dimV_(lambda_k)=n$
Dimostrazione: Sia $f$ diagonalizzabile, allora esiste un base $B$ si $V$ formata da autovettori di $f$. Sia $B'={v'_1,...,v'_n}$
Supponiamo per assurdo che sia $s=dimV_(lambda_1)+...+dimV_(lambda_k)
$v'_(s+1)$ è un autovettore di $f$ cioè esiste $i in {1,...,k}$ tale che $lambda_i$ è autovalore di $v'_(s+1)$
Allora $v'_(s+1)inV_(lambda_i)$ cioè $v'_(s+1)$ è combinazione lineare degli elementi di $B_i$, da cui $B_i uu {v'_(s+1)}$ è legato. Ma $B_i uu {v'_(s+1)} sub B_1 uu...uuB_k uu {v'_(s+1),...,v'_n}$, ma ciò è assurdo. Quindi necessariamente $s=n$
Sia ora $s=n$ e $s=|B_1 uu B_2 uu...uuB_k|=n$ cioè $B_1 uu... uu B_k$ è una base di autovettori di $f$ di $V$, pertanto $f$ è diagonalizzabile
Proposizione: $f$ è diagonalizzabile se e solo se $P_f(Lambda)$ è interamente scomponibile in $K$ e per ogni autovalore molteplicità algebrica e molteplicità geometrica coincidono.
Dimostrazione
Una implicazione l'abbiamo già vista, l'altra ti propongo quella che conosco io, che è molto semplice.
Siano $h(lambda_i)$ le molteplicità algebriche degli autovalori $lambda_i$. Allora sappiamo che $h(lambda_1)+...+h(lambda_k)=n$. Ma per ogni $i in{1,...,k} : dimV_(lambda_i)=h(lambda_i)$. Allora $dimV_(lambda_1)+...dimV_(lambda_k)=n$ e per il lemma $f$ è diagonalizzabile.
PS Hai fatto benissimo J18eos anche perchè non è che qui è una questione personale
Lemma: $f in End(V)$ e sia $Sp(f)={lamda_1,...,lambda_k}$
Allora $f$ è diagonalizzabile se e solo se $dimV_(lambda_1)+...+dimV_(lambda_k)=n$
Dimostrazione: Sia $f$ diagonalizzabile, allora esiste un base $B$ si $V$ formata da autovettori di $f$. Sia $B'={v'_1,...,v'_n}$
Supponiamo per assurdo che sia $s=dimV_(lambda_1)+...+dimV_(lambda_k)
$v'_(s+1)$ è un autovettore di $f$ cioè esiste $i in {1,...,k}$ tale che $lambda_i$ è autovalore di $v'_(s+1)$
Allora $v'_(s+1)inV_(lambda_i)$ cioè $v'_(s+1)$ è combinazione lineare degli elementi di $B_i$, da cui $B_i uu {v'_(s+1)}$ è legato. Ma $B_i uu {v'_(s+1)} sub B_1 uu...uuB_k uu {v'_(s+1),...,v'_n}$, ma ciò è assurdo. Quindi necessariamente $s=n$
Sia ora $s=n$ e $s=|B_1 uu B_2 uu...uuB_k|=n$ cioè $B_1 uu... uu B_k$ è una base di autovettori di $f$ di $V$, pertanto $f$ è diagonalizzabile
Proposizione: $f$ è diagonalizzabile se e solo se $P_f(Lambda)$ è interamente scomponibile in $K$ e per ogni autovalore molteplicità algebrica e molteplicità geometrica coincidono.
Dimostrazione
Una implicazione l'abbiamo già vista, l'altra ti propongo quella che conosco io, che è molto semplice.
Siano $h(lambda_i)$ le molteplicità algebriche degli autovalori $lambda_i$. Allora sappiamo che $h(lambda_1)+...+h(lambda_k)=n$. Ma per ogni $i in{1,...,k} : dimV_(lambda_i)=h(lambda_i)$. Allora $dimV_(lambda_1)+...dimV_(lambda_k)=n$ e per il lemma $f$ è diagonalizzabile.
PS Hai fatto benissimo J18eos anche perchè non è che qui è una questione personale
@Mistake89: Visto che il discorso l'hai portato innanzi senza errori e confusioni non sono intervenuto, in questi casi in cui intervengo mi sento come il terzo incomodo; sensibilità personale, e quindi mi comporto come nella realtà!
@Marix: fallo a "diagonale" il tuo\la tua docente!
:smt043
@Marix: fallo a "diagonale" il tuo\la tua docente!
:smt043
Mistake89 sei grandissimo! Grazie!
Ahahahah! Speriamo proprio! Poi vi faccio sapere come va!
Altra domandina!
Secondo voi se gli dico la prima implicazione senza aprire la parentesi sulla diagonalizzazione di f (la dimostrazione che ho chiesto a mistake89 tanto per capirci) va bene lo stesso?
Nel senso che se me la chiede lui provo a dimostrarla altrimenti vado avanti come se niente fosse ^^ che ne dite?
"j18eos":
@Marix: fallo a "diagonale" il tuo\la tua docente!
Ahahahah! Speriamo proprio! Poi vi faccio sapere come va!
Altra domandina!
Secondo voi se gli dico la prima implicazione senza aprire la parentesi sulla diagonalizzazione di f (la dimostrazione che ho chiesto a mistake89 tanto per capirci) va bene lo stesso?
Nel senso che se me la chiede lui provo a dimostrarla altrimenti vado avanti come se niente fosse ^^ che ne dite?
Figurati, di nulla!
Bah tu fai vedere che la cosa la sai ed fai ovviamente accenno al lemma che ho scritto sopra. Nel caso volesse approfondire gli mostri la dimostrazione!
Bah tu fai vedere che la cosa la sai ed fai ovviamente accenno al lemma che ho scritto sopra. Nel caso volesse approfondire gli mostri la dimostrazione!
purtroppo ho trovato qualche intoppo comunque ho portato a casa un 26
Grazie mille per l'aiuto!
Grazie mille per l'aiuto!
Non è assolutamente male, anzi, complimenti!
Complimenti!
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