Dimostrazione di un'operazione tra insiemi con funzioni
Salve! 
Ho appena concluso la prima settimana di lezioni di un cdl in Fisica e sto svolgendo degli esercizi relativi all'introduzione al corso di Geometria 1. Mi sono però bloccato su una serie di esercizi che richiedono delle dimostrazioni relative a delle operazioni con insiemi e funzioni, e soprattutto con i sottoinsiemi dell'insieme di partenza di una data funzione. Ad esempio uno richiede:
data la funzione f: X-->Y e i due sottoinsiemi A, B ⊆ X, dimostra che $f(A) - f(B) ⊆ f(A - B)$. Inoltre richiede di trovare un esempio per cui $f(A) - f(B) ≠ f(A - B)$.
Io ho proceduto così:
$x in (A - B) iff x in A ^^ x notin B iff f(x) in f(A) ^^ f(x) notin f(B) iff f(x) in (f(A) - f(B))$
Quindi mi verrebbe da concludere che i due membri della scrittura proposta dall'esercizio sono uguali. Quindi non riesco a dimostrare l'inclusione né a trovare un esempio che soddisfi la seconda richiesta.
Mi potreste aiutare? grazie!
Ho appena concluso la prima settimana di lezioni di un cdl in Fisica e sto svolgendo degli esercizi relativi all'introduzione al corso di Geometria 1. Mi sono però bloccato su una serie di esercizi che richiedono delle dimostrazioni relative a delle operazioni con insiemi e funzioni, e soprattutto con i sottoinsiemi dell'insieme di partenza di una data funzione. Ad esempio uno richiede:
data la funzione f: X-->Y e i due sottoinsiemi A, B ⊆ X, dimostra che $f(A) - f(B) ⊆ f(A - B)$. Inoltre richiede di trovare un esempio per cui $f(A) - f(B) ≠ f(A - B)$.
Io ho proceduto così:
$x in (A - B) iff x in A ^^ x notin B iff f(x) in f(A) ^^ f(x) notin f(B) iff f(x) in (f(A) - f(B))$
Quindi mi verrebbe da concludere che i due membri della scrittura proposta dall'esercizio sono uguali. Quindi non riesco a dimostrare l'inclusione né a trovare un esempio che soddisfi la seconda richiesta.
Mi potreste aiutare? grazie!
Risposte
Sia $y in f(A) - f(B)$, cioè $y in f(A)$ ma $y notin f(B)$, quindi tale $y$ proviene da $x in (A - B)$. Ma allora $f(x) in f(A - B)$ e così è dimostrata l'inclusione di cui sopra.
Un esempio potrebbe essere il seguente:
$f = sin : RR -> [-1, 1]$
$A = [0 , pi/2)$ e $B = [2 pi + pi/4 , 2pi + pi/2 )$
Vedi che $sin(A - B) = sin(A) = [0 , 1)$
mentre $sin(A) - sin(B) = [0, 1) - [sqrt(2)/2 , 1) != sin(A - B)$.
E' il primo che mi è venuto in mente; capito il meccanismo puoi trovarne di più immediati.
Un esempio potrebbe essere il seguente:
$f = sin : RR -> [-1, 1]$
$A = [0 , pi/2)$ e $B = [2 pi + pi/4 , 2pi + pi/2 )$
Vedi che $sin(A - B) = sin(A) = [0 , 1)$
mentre $sin(A) - sin(B) = [0, 1) - [sqrt(2)/2 , 1) != sin(A - B)$.
E' il primo che mi è venuto in mente; capito il meccanismo puoi trovarne di più immediati.
"Seneca":
Sia $y in f(A) - f(B)$, cioè $y in f(A)$ ma $y notin f(B)$, quindi tale $y$ proviene da $x in (A - B)$. Ma allora $f(x) in f(A - B)$ e così è dimostrata l'inclusione di cui sopra.
Un esempio potrebbe essere il seguente:
$f = sin : RR -> [-1, 1]$
$A = [0 , pi/2)$ e $B = [2 pi + pi/4 , 2pi + pi/2 )$
Vedi che $sin(A - B) = sin(A) = [0 , 1)$
mentre $sin(A) - sin(B) = [0, 1) - [sqrt(2)/2 , 1) != sin(A - B)$.
E' il primo che mi è venuto in mente; capito il meccanismo puoi trovarne di più immediati.
Molto gentile! Grazie mille!
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