Dimostrazione di omeomorfismo

[natia88]

Sia B lo spazio di tutte le basi di uno spazio vettoriale $V=F^n$ su un campo F. Allora esiste una biezione naturale $B≈GL(n:F)$. Si diano due dimostrazioni.


Io ho fatto una dimostrazione prendendo spunto da una simile fatta dal mio prof:
Definiamo B={b|b={e1,...,en} base di F}. Siano b,b' appartenenti a B, allora esiste A appartenente a GL(n;F) t.c. Ab=b'. Sia b0={e1,...,en} la base canonica, quindi B=GL(n;F)(b0)={1} (e questo passaggio non mi è chiaro!). Allora $(GL(n;F))/(GL(n;F)(b0))≈B$ quindi $GL(n;F)≈B$.

Per favore potreste spiegarmi il passaggio che non ho capito e darmi qualche suggerimento per un'altra dimostrazione?

[cirasa]

"natia88":Sia b0={e1,...,en} la base canonica, quindi B=GL(n;F)(b0)={1} (e questo passaggio non mi è chiaro!).

[Il colore rosso alla scritta l'ho aggiunto io. Indica la parte sbagliata da eliminare. Ovviamente {1}, l'insieme ridotto al solo elemento 1 non coincide con l'insieme $B$ delle basi, a meno che tu non abbia indicato con {1} qualcosa di diverso.]

Significa che ogni base $b$ di $F^n$ si può scrivere come una matrice $A\in GL(,F)$ per la base canonica $b_0$ ($A$ non è altro che la matrice di passaggio dalla base canonica alla base $b$).
Viceversa ogni matrice $A\in GL(n,F)$ definisce una base $b$ tale che la matrice di passaggio dalla base canonica alla base $b$ sia $A$.