Dimostrazione di matrice diagonalizzabile

[matc2]

Buongiorno a tutti!
Mi servirebbe una mano per iniziare questa dimostrazione. Il mio professore mi ha detto di cercare un controesempio, ma non ne trovo uno.
Dimostrare che se $ A^2 $ è una matrice diagonalizzabile questo non implica che A sia matrice diagonalizzabile.
Vi ringrazio fin d'ora per l'aiuto.
Mattia

[franced]

"matc":
Dimostrare che se $ A^2 $ è una matrice diagonalizzabile questo non implica che A sia matrice diagonalizzabile.

Prova con questa matrice:

[tex]A = \left( \begin{array}{cc}
0 & -1 \\[1mm]
1 & 0
\end{array} \right)[/tex]

la matrice rappresenta la rotazione di 90 gradi in senso
antiorario attorno all'origine;
[tex]A[/tex] non è triangolabile su [tex]\mathbb{R}[/tex], quindi non è diagonalizzabile su [tex]\mathbb{R}[/tex].

Se calcoliamo [tex]A^2[/tex] troviamo

[tex]A^2 = \left( \begin{array}{cc}
-1 & 0 \\[1mm]
0 & -1
\end{array} \right)[/tex]

[tex]A^2[/tex] è diagonalizzabile (è diagonale!), mentre [tex]A[/tex] non lo è.

[matc2]

Sei stato molto gentile e preciso. Grazie mille!
Mattia

[franced]

Prego!