Dimostrazione di geometria di cui non sono troppo convinto
Salve a tutti. Come da titolo, ecco il testo dell'esercizio.
Sia $f:V->V$ un endomorfismo, e $dimV=n$. Dimostrare che se $Imf^(i_0)=Imf^(i_0+1)$ per qualche $i_0$, allora $Imf^i=Imf^(i_0)$ per ogni $i>=i_0$.
Innazitutto ditemi una cosa: la tesi è equivalente a $Imf^i=Imf^(i+1)$ per ogni $i>=i_0$? Perchè avremmo che $Imf^(i_0)=Imf^(i_0+1)=Imf^j=Imf^(j+1)=Imf^(j+2)...$. Se si, avrei pensato di dimostrarlo per induzione su i (EDIT che per oscure e inindagabali ragioni ho chiamato all'epoca in cui ho scritto il post $j$, per cui la dimostrazione è per induzione su $j$..)
Passo base: Per $j=i_0$. Si ha $Imf^(i_0)=Imf^(i_0+1)$ vero per ipotesi.
Hp induttiva: $Imf^j=Imf^(j+1)$
Ts: $Imf^(j+1)=Imf^(j+2)<=>Imf^(j+1)subImf^(j+2)^^Imf^(j+2)subImf^(j+1)$. La seconda inclusione non mi crea problemi, l'ho già dimostrata in un altro esercizio. Riguardo la prima invece:
So che (per ipotesi induttiva) se un certo $x$ appartiene a $Imf^j$ allora deve appartenere anche a $Imf^(j+1)$, cioè che se $EEvinV | f^j(v)=x$, allora $EEw inV | f^(j+1)(w)=x$:mettendo insieme so che $AA x in Imf^(j+1) EEv,winV | f^j(v)=f^j(f(w))$.
Partiamo ora da un $x'inImf^(j+1)$.
Devo dimostrare che se $EEv' inV | f^(j+1)(v')=x'$, allora $EEw' inV | f^(j+2)(w')=x'$.
Ho che $x'=f^(j+1)(v')=f^j(f(v'))$. Per ipotesi induttiva, essendo $x'inImf^(j+1)$, so che $EEf(v'),f(w')inV | x'=f^j(f(v'))=f^(j)(f(f(w')))=f^(j+2)(w')=x'$, cioè $EEw'inV | x'=f^(j+2)(w')$, cioè $x'inImf^(j+2)$, la tesi.
Il mio dubbio è (ammesso e non concesso che la cosa che ho dimostrato, se giusta, sia davvero equivalente alla tesi richiesta dall'esercizio): quando dico che $AA x in Imf^(j+1) EEv,winV | f^j(v)=f^j(f(w))$ (l'ipotesi induttiva), dopo posso prendere come $v,w$ (che sono generici) proprio$f(v')$ e $f(w')$, come ho fatto? La cosa mi sembra un pò artificiosa, non vorrei che ciò ledesse la generalità. Sono seminuovo in questo tipo di esercizi quindi abbiate la pietà di sopportare le eresie che posso con alta probabilità aver scritto e di spiegarmi con pazienza dove sbaglio
grazie come sempre
Sia $f:V->V$ un endomorfismo, e $dimV=n$. Dimostrare che se $Imf^(i_0)=Imf^(i_0+1)$ per qualche $i_0$, allora $Imf^i=Imf^(i_0)$ per ogni $i>=i_0$.
Innazitutto ditemi una cosa: la tesi è equivalente a $Imf^i=Imf^(i+1)$ per ogni $i>=i_0$? Perchè avremmo che $Imf^(i_0)=Imf^(i_0+1)=Imf^j=Imf^(j+1)=Imf^(j+2)...$. Se si, avrei pensato di dimostrarlo per induzione su i (EDIT che per oscure e inindagabali ragioni ho chiamato all'epoca in cui ho scritto il post $j$, per cui la dimostrazione è per induzione su $j$..)
Passo base: Per $j=i_0$. Si ha $Imf^(i_0)=Imf^(i_0+1)$ vero per ipotesi.
Hp induttiva: $Imf^j=Imf^(j+1)$
Ts: $Imf^(j+1)=Imf^(j+2)<=>Imf^(j+1)subImf^(j+2)^^Imf^(j+2)subImf^(j+1)$. La seconda inclusione non mi crea problemi, l'ho già dimostrata in un altro esercizio. Riguardo la prima invece:
So che (per ipotesi induttiva) se un certo $x$ appartiene a $Imf^j$ allora deve appartenere anche a $Imf^(j+1)$, cioè che se $EEvinV | f^j(v)=x$, allora $EEw inV | f^(j+1)(w)=x$:mettendo insieme so che $AA x in Imf^(j+1) EEv,winV | f^j(v)=f^j(f(w))$.
Partiamo ora da un $x'inImf^(j+1)$.
Devo dimostrare che se $EEv' inV | f^(j+1)(v')=x'$, allora $EEw' inV | f^(j+2)(w')=x'$.
Ho che $x'=f^(j+1)(v')=f^j(f(v'))$. Per ipotesi induttiva, essendo $x'inImf^(j+1)$, so che $EEf(v'),f(w')inV | x'=f^j(f(v'))=f^(j)(f(f(w')))=f^(j+2)(w')=x'$, cioè $EEw'inV | x'=f^(j+2)(w')$, cioè $x'inImf^(j+2)$, la tesi.
Il mio dubbio è (ammesso e non concesso che la cosa che ho dimostrato, se giusta, sia davvero equivalente alla tesi richiesta dall'esercizio): quando dico che $AA x in Imf^(j+1) EEv,winV | f^j(v)=f^j(f(w))$ (l'ipotesi induttiva), dopo posso prendere come $v,w$ (che sono generici) proprio$f(v')$ e $f(w')$, come ho fatto? La cosa mi sembra un pò artificiosa, non vorrei che ciò ledesse la generalità. Sono seminuovo in questo tipo di esercizi quindi abbiate la pietà di sopportare le eresie che posso con alta probabilità aver scritto e di spiegarmi con pazienza dove sbaglio
grazie come sempre
Risposte
UP..
Non me ne vogliate se continuo a rompere, credo nel mio intimo che l'esercizio sia banale: vi capisco se credete che non vale la pena di rispondere, dato che ciò comporta leggere un lungo e noioso post e magari scrivere una lunga e noiosa risposta. Vorrei solo sapere se dal punto di vista formale va bene, o se invece è proprio tutto una schifezza....
Non me ne vogliate se continuo a rompere, credo nel mio intimo che l'esercizio sia banale: vi capisco se credete che non vale la pena di rispondere, dato che ciò comporta leggere un lungo e noioso post e magari scrivere una lunga e noiosa risposta. Vorrei solo sapere se dal punto di vista formale va bene, o se invece è proprio tutto una schifezza....
Ecco ciò che penso io.
Quel tuo $exists f(v'),f(w') in V$ a mio avviso "lede la generalità".
Per aggirare questo fastidio puoi ragionare al contrario: scrivi $x'=f^{j+1}(v')=f(f^j(v'))$ (anziché $f^j(f(v'))$), ed ora sai che puoi scrivere $f^j(v')$ come $f^{j+1}(w')$ per un certo $w'$, per ipotesi induttiva.
"alvinlee88":
Ho che $x'=f^(j+1)(v')=f^j(f(v'))$. Per ipotesi induttiva, essendo $x'inImf^(j+1)$, so che $EEf(v'),f(w')inV | x'=f^j(f(v'))=f^(j)(f(f(w')))=f^(j+2)(w')=x'$, cioè $EEw'inV | x'=f^(j+2)(w')$, cioè $x'inImf^(j+2)$, la tesi.
Quel tuo $exists f(v'),f(w') in V$ a mio avviso "lede la generalità".
Per aggirare questo fastidio puoi ragionare al contrario: scrivi $x'=f^{j+1}(v')=f(f^j(v'))$ (anziché $f^j(f(v'))$), ed ora sai che puoi scrivere $f^j(v')$ come $f^{j+1}(w')$ per un certo $w'$, per ipotesi induttiva.
Innanzitutto grazie per la risposta, temevo che il post finisse nel dimenticatoio...
Effettivamente facendo come dici te la cosa sembra molto più limpida, ma a rigore la mia scelta faceva veramente perdere in generalità? Ribadisco, come dici te mi garba di più, anche visivamente si presenta meglio, però ho un dubbio:
Effettivamente facendo come dici te la cosa sembra molto più limpida, ma a rigore la mia scelta faceva veramente perdere in generalità? Ribadisco, come dici te mi garba di più, anche visivamente si presenta meglio, però ho un dubbio:
No dubbio risolto, mi stavo infognando in considerazioni inutili!!
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo