Dimostrazione di Gauss-Grenn

[squalllionheart]

Devo dimostrare gauss-green
Sto seguendo la dimostrazione del giusti praticamente lo dimostra supponedo che l'insieme sia normale rispetto all'asse x.
Divide le due forme e le integra lungo le curve.
La prima parte quella per cui $int_{del^+E}M(x,y)dx=-int_{E}(delM)/(dely)dxdy$
La seconda per cui $int_{del^+E}N(x,y)dy=int_{E}(delN)/(delx)dxdy$
Praticamente fa l'analogo e si scrive l'integrale della forma differenziale lungo la curva. Una volta fatto ciò pone
$F(x,y)=int_{alpha(x)}^{y}N(x,t)dt$
da ciò segue che $N(x,y)=(delF(x,y))/(dely)$
Ora mi spiegate il fatidico passaggio
$N(x,alpha(x))alpha'(x)=d(F(x,alpha(x)))/dx-(delF)((x,alpha(x)))/(delx)$
Non capisco come deriva?
inoltre
$int_{a}^{b}N(x,alpha(x))alpha'(x)dx=F(b,alpha(b))-F(a,alpha(a))-int_{a}^{b}(delF)((x,alpha(x)))/(delx)$
Non capisco il terzo termine, l'integrale come esce fuori.

[raff5184]

"squalllionheart":$int_{a}^{b}N(x,alpha(x))alpha'(x)dx=F(b,alpha(b))-F(a,alpha(a))-int_{a}^{b}(delF)((x,alpha(x)))/(delx)$
Non capisco il terzo termine, l'integrale come esce fuori.

$int_{a}^{b}N(x,alpha(x))alpha'(x)dx=int_{a}^{b}[d(F(x,alpha(x)))/dx-(delF)((x,alpha(x)))/(delx)]dx=int_{a}^{b}d(F(x,alpha(x)))/dxdx-int_{a}^{b}(delF)((x,alpha(x)))/(delx)=F(b,alpha(b))-F(a,alpha(a))-int_{a}^{b}(delF)((x,alpha(x)))/(delx)$

cioè $int_{a}^{b}d(F(x,alpha(x)))/dx=F(b,alpha(b))-F(a,alpha(a))$

[squalllionheart]

grazie.
Quando deriva la prima che signficato hanno il gradiente e la derivazione sono sempre rispetto alla x.

[raff5184]

"squalllionheart":Quando deriva la prima che signficato hanno il gradiente e la derivazione sono sempre rispetto alla x.

hai presente la derivata convettiva...?
Un attimo che ti scrivo i passaggi

[raff5184]

"squalllionheart":$N(x,y)=(delF(x,y))/(dely)$

fin qui mi pare che ti è chiaro. Dunque ha posto $y=alpha(x)$ perciò y è una funzione di x.
Ora calcoliamoci la derivata totale di $F(x,y)$ rispetto a x; ti ripeto che la variabile $y$ della funzione $F$ può essere ricondotta alla $x$ in quanto $y=alpha(x) $ è appunto una funz di x. Allora vogliamo fare la derivata totale di $F(x,alpha(x))$ cioè questa: $(d(F(x,alpha(x))))/dx$. Chiaro fin qui?
Tale derivata da cosa sarà data? Dalla somma delle derivate parziali di $F(x,alpha(x))$, perché parziali? perché F è funzione di due variabili, x e $alpha(x)$; perciò occorre derivarla rispetto a x ottentnedo l'addendo $(delF(x,alpha(x)))/(delx) $e poi risptto alla y (o $alpha(x)$, come preferisci tanto sono le stesse): dunque ottieni l'addendo $(delF(x,alpha(x)))/(delalpha)*(del(alpha(x)))/(delx)$.
Qui avevo sottolineato che non ero sicuro che formalmente la cosa potesse essere scritta $(delF(x,alpha(x)))/(delalpha)$ riferendomi in particolare al $(delalpha)$ che sta al denominatore (cmq qualche volta l'ho trovata questa scrittura). Perché questo secondo addendo viene cosi? Perché F, oltre che semplice funzione di x $F($x$,alpha(x))$, è anche una funzione composta, dato che ho una $F$ di $alpha$ di $x$: F(x,$alpha$(x))

Ora per capire immagina di avere questa funzione composta: $sin(lnx)$ e di volerla derivare (chiaramente rispetto alla x), cosa ottieni? $[cos(lnx)]*{1/x}$, analogamente ottieni , osserva le parentesi: $[(delF(x,alpha(x)))/(delalpha)]*{(del(alpha(x)))/(delx)}$
ora la derivata parziale di $alpha(x)$ $ (del(alpha(x)))/(delx)$ è in realtà una derivata totale in quanto $alpha $ dipende soltanto da x e non da altre variabili; e per questo motivo può essere scritta come $(del(alpha(x)))/(delx)=(dalpha(x))/(dx)=alpha'(x)$

Tutte queste parole in formule diventano:
$(d(F(x,alpha(x))))/dx=(delF(x,alpha(x)))/(delx)+(delF(x,alpha(x)))/(delalpha)*alpha'(x)$ (1)


All'inizio avevamo detto che $N(x,y)=(delF(x,y))/(dely)$, allora posso scrivere: $(d(F(x,alpha(x))))/dx=(delF(x,alpha(x)))/(delx)+N(x,alpha(x))*alpha'(x)$; isolando $N(x,alpha(x))*alpha'(x)$ ottengo$N(x,alpha(x))*alpha'(x)=(d(F(x,alpha(x))))/dx-(delF(x,alpha(x)))/(delx)$

Se hai dubbi indicami le parti che non ti sono chiare

[squalllionheart]

raff nn l'ho capito... Puoi essere più chiaro?

[raff5184]

"squalllionheart":raff nn l'ho capito... Puoi essere più chiaro?

ok un attimo solo

[squalllionheart]

Scusa raff un'altra cosa
il significato profondo tra $d(F(x,alpha(x)))/dx$ e $delF((x,alpha(x)))/(del(x))$
è che la prima la valuto come funzione di una sola variabile quindi è una derivata tolale rispetto alla x e la seconda la valuto come una funzione di due variabili e quindi la derivata è parziale rispetto alla variabile x? GIusto
Grazie ancora per la disponibilità

[raff5184]

per sbaglio ho sovrascritto la risposta precedente... vabbè poco male

[raff5184]

"squalllionheart":Scusa raff un'altra cosa
il significato profondo tra $d(F(x,alpha(x)))/dx$ e $delF((x,alpha(x)))/(del(x))$
è che la prima la valuto come funzione di una sola variabile quindi è una derivata tolale rispetto alla x e la seconda la valuto come una funzione di due variabili e quindi la derivata è parziale rispetto alla variabile x? GIusto
Grazie ancora per la disponibilità

esattamente

[squalllionheart]

Ora è tutto chiaro. Grazie mille un bacio Mari.
P.s.
Nel primo termine di derivazione
$(del(F(x,alpha(x))))/(del(x))$ nn moltiplichamo per $(del(x))/(del(x))$ perchè il rapporto è uno giusto?

[raff5184]

"squalllionheart":Ora è tutto chiaro. Grazie mille un bacio Mari.
P.s.
Nel primo termine di derivazione
$(del(F(x,alpha(x))))/(del(x))$ nn moltiplichamo per $(del(x))/(del(x))$ perchè il rapporto è uno giusto?

si... cioè moltiplichi ma lo sottintendi
se hai ancora dubbi io sono qui.

[squalllionheart]

ok grazie un bacio.