Dimostrazione della disuguaglianza di Cauchy-Schwarz
Buongiorno,
in merito alla classica dimostrazione della suddetta disuguaglianza: $ | x \cdot y| <=| x| cdot| y| $
con x e y vettori, si usa risolvere analizzando $ | x + lambda y| ^2>=0 $ per ottenere: $ | x | ^2 +2lambda(xcdoty)+lambda^2| y| ^2 >=0 $ il tutto è valido per ogni lambda reale.
A questo punto però, si usa scegliere un particolare lambda ad esempio: $ lambda=-(xcdoty)/ (| y| ^2) $ per ottenere la disuguaglianza. Quello che non capisco è come si fa a dare carattere generale a questa disuguaglianza, facendola valere per ogni coppia di vettori x e y quando la stessa è stata ottenuta solo per un particolare valore di lambda?
in merito alla classica dimostrazione della suddetta disuguaglianza: $ | x \cdot y| <=| x| cdot| y| $
con x e y vettori, si usa risolvere analizzando $ | x + lambda y| ^2>=0 $ per ottenere: $ | x | ^2 +2lambda(xcdoty)+lambda^2| y| ^2 >=0 $ il tutto è valido per ogni lambda reale.
A questo punto però, si usa scegliere un particolare lambda ad esempio: $ lambda=-(xcdoty)/ (| y| ^2) $ per ottenere la disuguaglianza. Quello che non capisco è come si fa a dare carattere generale a questa disuguaglianza, facendola valere per ogni coppia di vettori x e y quando la stessa è stata ottenuta solo per un particolare valore di lambda?
Risposte
Non è quello che stai facendo. Un'equazione di secondo grado ha un numero associato, si chiama discriminante; esso è positivo se l'equazione ha radici distinte; nullo se le ha coincidenti; negativo se non ha radici reali. Il discriminante di quell'equazione di secondo grado in \(\lambda\) è \(x\cdot y - |x|^2 |y|^2\)... continua tu.
"cla29":
in merito alla classica dimostrazione della suddetta disuguaglianza: $ | x \cdot y| >=| x| cdot| y| $
Questa non è la "suddetta disuguaglianza"...
correzione: $ | x \cdot y| <=| x| cdot| y| $
ma il discriminante non dovrebbe essere: $ (xcdoty)^2-| x| ^2| y| ^2 $ ?
in questo caso il coefficiente a dell'equazione associata è sicuramente positivo dunque la concavità della parabola è rivolta verso l'alto, ma come faccio ora a escludere la positività del delta, per poi trovare che $ b^2<=4ac $ ?
in questo caso il coefficiente a dell'equazione associata è sicuramente positivo dunque la concavità della parabola è rivolta verso l'alto, ma come faccio ora a escludere la positività del delta, per poi trovare che $ b^2<=4ac $ ?
Quando è che la disequazione $a lambda^2 + b lambda + c >= 0$ con $a>0$ ha come soluzioni tutti i $lambda in RR$?
quando il segno di a è concorde con il segno della disequazione e il delta è negativo
"cla29":
[...] e il delta è negativo
Appunto.
E sì, $\Delta/4 = (x*y)^2 - |x|^2 |y|^2$.
ok ho capito e ti ringrazio.
A questo punto oso ancora, e ti chiedo (vi chiedo): qual'è la connessione di questo risultato con la disuguaglianza triangolare?
La dimostrazione della disuguaglianza triangolare che ho studiato non fa uso di Cauchy-Schwarz, ma molti testi dicono che è strettamente connessa a quella triangolare.
Po
A questo punto oso ancora, e ti chiedo (vi chiedo): qual'è la connessione di questo risultato con la disuguaglianza triangolare?
La dimostrazione della disuguaglianza triangolare che ho studiato non fa uso di Cauchy-Schwarz, ma molti testi dicono che è strettamente connessa a quella triangolare.
Po
Dipende...
Innanzitutto, in che spazio stai lavorando? $RR^N$? $CC^N$? Uno spazio di Hilbert? Se sì, reale o complesso?
Poi, che dimostrazione hai trovato della disuguaglianza triangolare?
Infine, diciamo di voler dimostrare che $|mathbf(x) + mathbf(y)| <= |mathbf(x)| + |mathbf(y)|$ con $mathbf(x), mathbf(y) in RR^N$.
Per definizione, è:
$|mathbf(x) + mathbf(y)|^2 = (mathbf(x) + mathbf(y))*(mathbf(x) + mathbf(y)) = |mathbf(x)|^2 + 2mathbf(x) * mathbf(y) + |mathbf(y)|^2 \stackrel{"C-S"}{<=} |mathbf(x)|^2 + 2 |mathbf(x)| |mathbf(y)| + |mathbf(y)|^2 = (|mathbf(x)| + |mathbf(y)|)^2$
da cui segue la disuguaglianza triangolare.
Innanzitutto, in che spazio stai lavorando? $RR^N$? $CC^N$? Uno spazio di Hilbert? Se sì, reale o complesso?
Poi, che dimostrazione hai trovato della disuguaglianza triangolare?
Infine, diciamo di voler dimostrare che $|mathbf(x) + mathbf(y)| <= |mathbf(x)| + |mathbf(y)|$ con $mathbf(x), mathbf(y) in RR^N$.
Per definizione, è:
$|mathbf(x) + mathbf(y)|^2 = (mathbf(x) + mathbf(y))*(mathbf(x) + mathbf(y)) = |mathbf(x)|^2 + 2mathbf(x) * mathbf(y) + |mathbf(y)|^2 \stackrel{"C-S"}{<=} |mathbf(x)|^2 + 2 |mathbf(x)| |mathbf(y)| + |mathbf(y)|^2 = (|mathbf(x)| + |mathbf(y)|)^2$
da cui segue la disuguaglianza triangolare.
si la dimostrazione è quella riportata da te per i reali. Dunque l'unica connessione, nel nostro caso, fra le due disuguaglianze è:
$ | xcdoty| =xcdoty $
dico bene?
$ | xcdoty| =xcdoty $
dico bene?
"cla29":
l'unica connessione, nel nostro caso, fra le due disuguaglianze è:
$ | xcdoty| =xcdoty $
dico bene?
Scusa?
quando scrivi che:
$ (mathbf(x) + mathbf(y))*(mathbf(x) + mathbf(y)) = |mathbf(x)|^2 + 2mathbf(x) * mathbf(y) + |mathbf(y)|^2 \stackrel{"C-S"}{<=} |mathbf(x)|^2 + 2 |mathbf(x)| |mathbf(y)| + |mathbf(y)|^2 $ immagino significhi che questa è la disuguaglianza di C-S.
quindi semplificando significa: $ | xcdoty| <=| x| | y| $ essa fa da tramite nella dimostrazione della triangolare ed è quindi uguale a: $ (xcdoty) <=| x| | y| $
significa che: $ (xcdoty)=| xcdoty| $ dove le parentesi tonde sono non necessarie.
Cioè la norma del prodotto vettoriale è uguale al prodotto vettoriale.
Dove sto sbagliando?
$ (mathbf(x) + mathbf(y))*(mathbf(x) + mathbf(y)) = |mathbf(x)|^2 + 2mathbf(x) * mathbf(y) + |mathbf(y)|^2 \stackrel{"C-S"}{<=} |mathbf(x)|^2 + 2 |mathbf(x)| |mathbf(y)| + |mathbf(y)|^2 $ immagino significhi che questa è la disuguaglianza di C-S.
quindi semplificando significa: $ | xcdoty| <=| x| | y| $ essa fa da tramite nella dimostrazione della triangolare ed è quindi uguale a: $ (xcdoty) <=| x| | y| $
significa che: $ (xcdoty)=| xcdoty| $ dove le parentesi tonde sono non necessarie.
Cioè la norma del prodotto vettoriale è uguale al prodotto vettoriale.
Dove sto sbagliando?
Quel $\stackrel{"C-S"}{<=}$ significa che per passare dal membro a sinistra a quello a destra ho usato la disuguaglianza di Cauchy-Schwarz (insieme alla disuguaglianza elementare $t<=|t|$, che vale per ogni numero reale $t$).
Dopotutto, tu avevi chiesto una dimostrazione della disuguaglianza triangolare in cui venisse usata la C-S...
Tutto il resto del tuo discorso fatico a seguirlo.
Dopotutto, tu avevi chiesto una dimostrazione della disuguaglianza triangolare in cui venisse usata la C-S...
Tutto il resto del tuo discorso fatico a seguirlo.
Mi dispiace di non essere stato più chiaro. Mi sei stato di grande aiuto e ti ringrazio.
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