Dimostrazione dei polinomi
Ciao a tutti mi sapreste dare una mano su questa parte di teoria ?.
Dimostrare che \( K[x] \), lo spazio vettoriale dei polinomi nell’indeterminata \( x \) a coefficienti in \( K \), ha dimensione infinita su \( K \).
Dimostrare che \( K[x] \), lo spazio vettoriale dei polinomi nell’indeterminata \( x \) a coefficienti in \( K \), ha dimensione infinita su \( K \).
Risposte
"Dimostrazione dei polinomi"?
Comunque. E' parte del rituale chiederti cosa hai provato a fare, tu, e qual è esattamente il problema che incontri.
Comunque. E' parte del rituale chiederti cosa hai provato a fare, tu, e qual è esattamente il problema che incontri.
Il metodo più semplice per dimostrare la dimensione di uno spazio vettoriale è trovare una base. Ti viene in mente una possibile base per i polinomi?
Io suppongo che \( K[x] \) abbia dimensione finita e mosto che questa ipotesi ci porta ad una contraddizione.
Perciò supponendo che \( K[x] \) abbia dimensione finita:
Se \( K[x] \) ha dimensione finita, allora esiste un insieme finito di vettori (polinomi) che genera tutto lo spazio \( K[x] \). Sia \( \{p_1(x), p_2(x), \dots, p_n(x)\} \) una base di \( K[x] \), dove \( n \) è un numero naturale finito.
Ogni polinomio è combinazione lineare di \( \{1, x, x^2, \dots\} \):
Só che ogni polinomio in \( K[x] \) può essere scritto come combinazione lineare finita dei monomi \( \{1, x, x^2, \dots\} \). Questi monomi sono linearmente indipendenti su \( K \).
Considerando il grado massimo dei polinomi nella base:
Sia \( d \) il grado massimo tra i polinomi \( p_1(x), p_2(x), \dots, p_n(x) \). Questo significa che ogni polinomio nella base ha grado al massimo \( d \).
Scrivendo un polinomio di grado maggiore di \( d \):
Considerando il polinomio \( x^{d+1} \). Questo polinomio ha grado \( d+1 \), che è maggiore di \( d \).
Ed ecco che qui arriva la contraddizione:
Se \( \{p_1(x), p_2(x), \dots, p_n(x)\} \) è una base di \( K[x] \), allora \( x^{d+1} \) dovrebbe essere esprimibile come combinazione lineare di \( p_1(x), p_2(x), \dots, p_n(x) \). Tuttavia, poiché ogni \( p_i(x) \) ha grado al massimo \( d \), qualsiasi combinazione lineare di questi polinomi avrà grado al massimo \( d \). Quindi, non è possibile esprimere \( x^{d+1} \) come combinazione lineare di \( p_1(x), p_2(x), \dots, p_n(x) \), il che contraddice l'ipotesi che \( \{p_1(x), p_2(x), \dots, p_n(x)\} \) sia una base di \( K[x] \) o no ?
Perciò supponendo che \( K[x] \) abbia dimensione finita:
Se \( K[x] \) ha dimensione finita, allora esiste un insieme finito di vettori (polinomi) che genera tutto lo spazio \( K[x] \). Sia \( \{p_1(x), p_2(x), \dots, p_n(x)\} \) una base di \( K[x] \), dove \( n \) è un numero naturale finito.
Ogni polinomio è combinazione lineare di \( \{1, x, x^2, \dots\} \):
Só che ogni polinomio in \( K[x] \) può essere scritto come combinazione lineare finita dei monomi \( \{1, x, x^2, \dots\} \). Questi monomi sono linearmente indipendenti su \( K \).
Considerando il grado massimo dei polinomi nella base:
Sia \( d \) il grado massimo tra i polinomi \( p_1(x), p_2(x), \dots, p_n(x) \). Questo significa che ogni polinomio nella base ha grado al massimo \( d \).
Scrivendo un polinomio di grado maggiore di \( d \):
Considerando il polinomio \( x^{d+1} \). Questo polinomio ha grado \( d+1 \), che è maggiore di \( d \).
Ed ecco che qui arriva la contraddizione:
Se \( \{p_1(x), p_2(x), \dots, p_n(x)\} \) è una base di \( K[x] \), allora \( x^{d+1} \) dovrebbe essere esprimibile come combinazione lineare di \( p_1(x), p_2(x), \dots, p_n(x) \). Tuttavia, poiché ogni \( p_i(x) \) ha grado al massimo \( d \), qualsiasi combinazione lineare di questi polinomi avrà grado al massimo \( d \). Quindi, non è possibile esprimere \( x^{d+1} \) come combinazione lineare di \( p_1(x), p_2(x), \dots, p_n(x) \), il che contraddice l'ipotesi che \( \{p_1(x), p_2(x), \dots, p_n(x)\} \) sia una base di \( K[x] \) o no ?
A me sembra tu ti stia complicando la vita. I monomi sono vettori linearmente indipendenti di $K[x]$ e sono in numero infinito. La dimensione del tuo spazio vettoriale rappresenta un limite superiore al numero di vettori linearmente indipendenti su tale spazio. Per cui la presenza di un insieme infinito di vettori linearmente indipendenti implica che la dimensione dello spazio debba essere infinita.
...potresti anche tagliare il riferimento all'insieme dei monomi, e considerare direttamente \(x^{d+1}\) per giungere poi alla contraddizione! 
I monomi sono vettori linearmente indipendentiQuesta è esattamente la cosa da dimostrare, appunto, per concludere...
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