Dimostrazione da Verificare
Dati due spazi vettoriali $V_K$ e $W_K$,
una funzione lineare non iniettiva $L : V → W$ e una famiglia di vettori $F = v_1, v_2,...,v_r$ in
V , linearmente indipendente e soddisfacente la condizione $\langleF\rangle∩ kerL = {0}$, la famiglia$ L(F) =
L(v_1), L(v_2),...,L(v_r)$ risulta linearmente indipendente. (Si suppone $r ∈ \mathbb{N^0} $).
ho pensato che la condizione $\langleF\rangle∩ kerL = {0}$ sia utile a dichiarare che la famiglia $\F$ sia la parte che codifica per il sottospazio W, e che inoltre ammettere che $F$ sia dipendente è come ammettere che il $KerL$ abbia una dimensione maggiore di se stessa. Ma ne sono dubbioso, certo il $KerL$ avrà una base e quindi se la famiglia $F$ è linearmente dipendente non dovrebbe cambiare niente se i vettori "scartati" dalla famiglia non vanno a far parte dei vettori base del $KerL$ .. Qualcuno mi può dare una mano gentilmente perché sinceramente è la 20-esima dimostrazione che faccio e sto dando di matto .. Grazie mille!
una funzione lineare non iniettiva $L : V → W$ e una famiglia di vettori $F = v_1, v_2,...,v_r$ in
V , linearmente indipendente e soddisfacente la condizione $\langleF\rangle∩ kerL = {0}$, la famiglia$ L(F) =
L(v_1), L(v_2),...,L(v_r)$ risulta linearmente indipendente. (Si suppone $r ∈ \mathbb{N^0} $).
ho pensato che la condizione $\langleF\rangle∩ kerL = {0}$ sia utile a dichiarare che la famiglia $\F$ sia la parte che codifica per il sottospazio W, e che inoltre ammettere che $F$ sia dipendente è come ammettere che il $KerL$ abbia una dimensione maggiore di se stessa. Ma ne sono dubbioso, certo il $KerL$ avrà una base e quindi se la famiglia $F$ è linearmente dipendente non dovrebbe cambiare niente se i vettori "scartati" dalla famiglia non vanno a far parte dei vettori base del $KerL$ .. Qualcuno mi può dare una mano gentilmente perché sinceramente è la 20-esima dimostrazione che faccio e sto dando di matto .. Grazie mille!
Risposte
Ciao 
Non ho ben capito cosa hai scritto, cioè vuoi dimostrare che se $L(v_1), ..., L(v_r)$ non sono L.I allora $v_1, ..., v_r \in KerL$? Inoltre tu non devi dimostrare che $v_1, ..., v_r$ sono L.I, ma che $L(v_1), ..., L(v_r)$ lo sono.
Inizia con l'applicare la def di L.I ai vettori $L(v_1), ..., L(v_r)$. Quando questi si dicono L.I?
Non ho ben capito cosa hai scritto, cioè vuoi dimostrare che se $L(v_1), ..., L(v_r)$ non sono L.I allora $v_1, ..., v_r \in KerL$? Inoltre tu non devi dimostrare che $v_1, ..., v_r$ sono L.I, ma che $L(v_1), ..., L(v_r)$ lo sono.
Inizia con l'applicare la def di L.I ai vettori $L(v_1), ..., L(v_r)$. Quando questi si dicono L.I?
Beh in effetti ho guardato troppo il principio, basterebbe ipotizzare che $L(F)$ sia linearmente dipendente.
Se così fosse allora la famiglia $F$ avrebbe al suo interno un vettore $v_i$ con $i=1,...,r$ che dovrebbe essere contenuto all'interno del kernel contraddicendo l'ipotesi.. tecnicamente.. o no?
Mi sfugge qualcosa
Se così fosse allora la famiglia $F$ avrebbe al suo interno un vettore $v_i$ con $i=1,...,r$ che dovrebbe essere contenuto all'interno del kernel contraddicendo l'ipotesi.. tecnicamente.. o no?
Mi sfugge qualcosa
"Francy96@":
Beh in effetti ho guardato troppo il principio, basterebbe ipotizzare che $L(F)$ sia linearmente dipendente.
Se così fosse allora la famiglia $F$ avrebbe al suo interno un vettore $v_i$ con $i=1,...,r$ che dovrebbe essere contenuto all'interno del kernel contraddicendo l'ipotesi.. tecnicamente.. o no?
Mi sfugge qualcosa
Ciao
Va bene ragionare per assurdo, tuttavia non mi è chiaro un passaggio: perché $v_i$ appartiene al Kernel di $L$?
Intanto ricapitoliamo un po' tutto: sai che $F= {v_1, ..., v_r} \subset V$ è linearmente indipendente, sai che $L: V \to W$ è un'applicazione lineare non iniettiva e che $
Cioè devi dimostrare che $a_1L(v_1) + ... + a_rL(v_r) = 0 \Rightarrow a_1 = ... = a_r = 0$ con $a_1, ..., a_r \in \mathbb{K}$.
Esattamente.
All'inizio abbiamo dichiarato che all'interno del spazio vettoriale V $EE$ una famiglia di vettori L.I. $F| \langle F \rangle \cap kerL ={0_v}$.
Comunque se noi avessimo che $a_1L(v_1) +...+a_iL(v_i)+...+ a_rL(v_r) = 0_W$ linearmente dipendente ciò significa che possiamo rappresentare almeno un vettore della famiglia di vettori $L(\langleF\rangle)$ come combinazione lineare degli altri ad esempio con $v_i$ vettore linearmente dipendente, allora vale l'equazione seguente:
$L(v_i)= -[a_1L(v_1) +...+ a_rL(v_r)]/(a_i)$, $a_i!=0 => $
$L(v_i)= -L$ $ [a_1v_1 +...+ a_rv_r]/(a_i) =>$
$L(v_i)= L$ $ (-[a_1v_1 +...+ a_rv_r]/(a_i))=>$
$(v_i)=(-[a_1v_1 +...+ a_rv_r]/(a_i))$ quindi o $v_i in KerL$ e contraddice $\langle F \rangle \cap kerL ={0_v}$ oppure $v_i$ è L.D. e contraddice l'ipotesi che $\langle F \rangle$ sia L.I.
quindi tramite quella condizione qualsiasi famiglia di vettori mantiene la propria "natura" in seguito all'applicazione lineare applicatasi.
All'inizio abbiamo dichiarato che all'interno del spazio vettoriale V $EE$ una famiglia di vettori L.I. $F| \langle F \rangle \cap kerL ={0_v}$.
Comunque se noi avessimo che $a_1L(v_1) +...+a_iL(v_i)+...+ a_rL(v_r) = 0_W$ linearmente dipendente ciò significa che possiamo rappresentare almeno un vettore della famiglia di vettori $L(\langleF\rangle)$ come combinazione lineare degli altri ad esempio con $v_i$ vettore linearmente dipendente, allora vale l'equazione seguente:
$L(v_i)= -[a_1L(v_1) +...+ a_rL(v_r)]/(a_i)$, $a_i!=0 => $
$L(v_i)= -L$ $ [a_1v_1 +...+ a_rv_r]/(a_i) =>$
$L(v_i)= L$ $ (-[a_1v_1 +...+ a_rv_r]/(a_i))=>$
$(v_i)=(-[a_1v_1 +...+ a_rv_r]/(a_i))$ quindi o $v_i in KerL$ e contraddice $\langle F \rangle \cap kerL ={0_v}$ oppure $v_i$ è L.D. e contraddice l'ipotesi che $\langle F \rangle$ sia L.I.
quindi tramite quella condizione qualsiasi famiglia di vettori mantiene la propria "natura" in seguito all'applicazione lineare applicatasi.
Cmq grazie! è che non sapendo da dove partire ho fatto casino e basta! e alla fine non era così tanto difficile, almeno sperando di non aver sbagliato.. 
Beh nel caso correggimi!
Beh nel caso correggimi!
Non mi convince, c'è un passaggio che non va:
per come la vedo io tu hai eguagliato gli argomenti di $L$, in questo caso non puoi farlo perché l'applicazione non è iniettiva.
Ci sei vicino, ti do un indizio: hai supposto che i vettori $L(v_1), ..., L(v_r)$ fossero linearmente dipendenti, per definizione esistono $a_1, ..., a_r \in \mathbb{K}$ non tutti nulli tali che $a_1L(v_1)+ ... + a_rL(v_r) = 0$, per la linearità di $L$ ho che: $a_1L(v_1)+ ... + a_rL(v_r) = 0 \iff L(a_1v_1+...+a_rv_r) = 0$ ossia $a_1v_1 +...+ a_rv_r \in KerL \nn = {0}$, quindi $a_1v_1 +...+ a_rv_r = 0$, tuttavia...
"Francy96@":
$L(v_i)= L$ $ (-[a_1v_1 +...+ a_rv_r]/(a_i))=>$
$(v_i)=(-[a_1v_1 +...+ a_rv_r]/(a_i))$
per come la vedo io tu hai eguagliato gli argomenti di $L$, in questo caso non puoi farlo perché l'applicazione non è iniettiva.
Ci sei vicino, ti do un indizio: hai supposto che i vettori $L(v_1), ..., L(v_r)$ fossero linearmente dipendenti, per definizione esistono $a_1, ..., a_r \in \mathbb{K}$ non tutti nulli tali che $a_1L(v_1)+ ... + a_rL(v_r) = 0$, per la linearità di $L$ ho che: $a_1L(v_1)+ ... + a_rL(v_r) = 0 \iff L(a_1v_1+...+a_rv_r) = 0$ ossia $a_1v_1 +...+ a_rv_r \in KerL \nn
[xdom="vict85"]Sposto in geometria e algebra lineare.[/xdom]
Allora ho provato a dimostrare seguendo la tua strada e mi viene:
Ipotizziamo che $ L(v_1), ..., L(v_r) $ sia L.D. quindi $EE$ scalari non tutti nulli t.c.
$ a_1L(v_1)+ ... + a_rL(v_r) = 0_w $
per linearità: $ a_1L(v_1)+ ... + a_rL(v_r) = 0_w \iff L(a_1v_1+...+a_rv_r) = 0_w $
Dato $ a_1v_1 +...+ a_rv_r \in KerL $
$\langleF\rangle \nn KerL ={0_v} => a_1v_1 +...+ a_rv_r = 0_v $ ma dato che abbiamo ipotizzato scalari non tutti nulli ciò implica che la famiglia $ F= {v_1, ..., v_r} $ è linearmente dipendente.
Quindi per assurdo vale la tesi. ($\square$)?
Ipotizziamo che $ L(v_1), ..., L(v_r) $ sia L.D. quindi $EE$ scalari non tutti nulli t.c.
$ a_1L(v_1)+ ... + a_rL(v_r) = 0_w $
per linearità: $ a_1L(v_1)+ ... + a_rL(v_r) = 0_w \iff L(a_1v_1+...+a_rv_r) = 0_w $
Dato $ a_1v_1 +...+ a_rv_r \in KerL $
$\langleF\rangle \nn KerL ={0_v} => a_1v_1 +...+ a_rv_r = 0_v $ ma dato che abbiamo ipotizzato scalari non tutti nulli ciò implica che la famiglia $ F= {v_1, ..., v_r} $ è linearmente dipendente.
Quindi per assurdo vale la tesi. ($\square$)?
Giusto 
Puoi dimostrare la proposizione anche in modo diretto: siano $a_1, ..., a_r \in \mathbb{K}$ tali che $a_1L(v_1) + ... + a_rL(v_r) = 0$, per il solito discorso della linearità di $L$ trovo che: $L(a_1v_1+...+a_rv_1) = 0 \Rightarrow a_1v_1+...+a_rv_r \in KerL \nn = {0}$, quindi $a_1v_1+...+a_rv_r = 0$ ma per ipotesi $v_1, ..., v_r$ sono L.I. quindi $a_1 = ... = a_r = 0$ da cui segue che $L(v_1), ... , L(v_r)$ sono linearmente indipendenti.
Ciao
Puoi dimostrare la proposizione anche in modo diretto: siano $a_1, ..., a_r \in \mathbb{K}$ tali che $a_1L(v_1) + ... + a_rL(v_r) = 0$, per il solito discorso della linearità di $L$ trovo che: $L(a_1v_1+...+a_rv_1) = 0 \Rightarrow a_1v_1+...+a_rv_r \in KerL \nn
Ciao
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