Dimostrazione conica

[Lory902]

Avrei un problema riguardante i fasci di coniche. Ho due coniche e considero il fascio da esse generate, come so esse possono avere al più 4 punti base. Ora se ho questi 4 punti base(A,B,C,D) e prendo un quinto punto (E) devo dimostrare che esiste una sola conica che passa per essi.
Io parto dal fatto che considero l'equazione del fascio a la calcolo nel quinto punto, cioè il punto E. I due coefficienti che mi danno l'equazione della conica non possono essere entrambi nulli sennò avrei un punto base per cui esisterà un opportuna coppia che mi garantisce il fatto che il punto E appartenga alla conica. Ma perchè questa è l'unica?Come lo dimostro?

[mistake89]

siano $C_1:psi_1(x,x)=0$ e $C_2:psi_2(x,x)=0$ le nostre coniche e consideriamo $k in K$ sistema coordinato.
consideriamo $P in S_2$ non appartenente ai punti base e sia $k(P)=phi_2(y)$

Sia $C:psi_2(y,y)psi_1(x,x)+psi_2(x,x)psi_1(y,y)=0$. Ovviamente questa conica appartiene al fascio individuato da $C_1,C_2$ e $P in C$

Proviamo l'unicità: Sia $C'$ altra conica del fascio tale che $P in C'$. Allora $C':(lambdapsi_1+mupsi_2)(x,x)=0$ e $P in C'$ implica $lambdapsi_1(y,y)+mupsi_2(y,y)=0$ con $psi_1(y,y),psi_2(y,y) ne (0,0)$ poichè $P$ non è un punto base del fascio. Questa equazione ammette come soluzione particolare non nulla $lambda=psi_2(y,y),mu=-psi_1(y,y)$, cioè la stessa equazione di $C$. Pertanto $C=C'$

[Lory902]

scusa ma per la dimostrazione hai usato il fatto che la conica la si può pensare come forma quadratica? Se volessi semplificare la dimostrazione e considerare il fascio come $\lambda$$C_1$+$\mu$$C_2$$=0$ senza considerare l'equazione delle due coniche. Io ora calcolo il fascio sostituendo ad $x$ e $y$ le coordinate di $P_5$$=($$x_5$$,$$y_5$$)$ allora esisteranno degli opportuni $\lambda$ e $\mu$ che mi danno la conica per $P_5$. Io voglio capire come fare ad essere sicuro che questi $\lambda$ e $\mu$ sono unici e di conseguenza che la conica è unica. La tua dimostrazione per quanto comprensibile non mi è molto chiara o meglio non mi è chiaro il fascio che hai considerato. Se riesci a proseguire nella mia dimostrazione magari la capirei meglio.

[mistake89]

Uso solo la definizione di conica, quindi il fatto che abbia un'equazione bilineare simmetrica.

Puoi sempre ricalcare quella che ti ho scritto io prima, cioè prendi un 'altra conica del fascio e fai vedere che quei $lambda,mu$ particolari sono quelli...

[Lory902]

Quindi tu dici così:

"Lory90":Considero il fascio come $\lambda$$C_1$+$\mu$$C_2$$=0$ senza considerare l'equazione delle due coniche. Io ora calcolo il fascio sostituendo ad $x$ e $y$ le coordinate di $P_5$$=($$x_5$$,$$y_5$$)$ allora esisteranno degli opportuni $\lambda$ e $\mu$ che mi danno la conica per $P_5$.

Io voglio essere sicuro che questi $\lambda$ e $\mu$ siono unici e di conseguenza suppongo che esistano altri due $\lambda_1$ e $\mu_1$ tali che $\lambda$$C_1$+$\mu$$C_2$$=0$ e il punto $P_5$$=($$x_5$$,$$y_5$$)$ soddisfi alla condizione. Ma allora ho che la coppia $($$\lambda_1$$,$$\mu_1$$)$
e la coppia $($$\lambda$$,$$\mu$$)$ verificano entrambe la condizione per cui devono essere uguali o meglio proporzionali? Non capisco come fare ad essere certo che le due coppie di $\lambda$ e $\mu$ debbano essere uguali.

[Lory902]

mistake89 non mi rispondi?Vorrei sapere se l'ultimo messaggio che ti ho scritto è giusto o no. Aspetto tue notizie.