Dimostrazione circa vettori e somma diretta

[mistake89]

Ciao a tutti ragazzi, ho cercato di risolvere due esercizi ma ho dei dubbi circa le mie dimostrazioni e vorrei sapere se secondo voi sono corrette:

prima proposizione:
Sia $V$ $K$-spazio vettoriale
allora
$$$=$$$$+...+
ora poichè so per ipotesi che $v_1,...,v_m$ generano lo spazio e sono linearmente indipendenti io so che $v_1...v_m$ è base per $V$.
Per una caratterizzazione so quindi che poichè $v_1,...,v_m$ allora $AA v in V$ $EE|$ $a_1...a_m$ $in K$ $t.c.$ $v=\sum_{i=1}^m a_iv_i$
ora so anche che un generico vettore $v$ appartiene a $$$+...+$...$EE|v'_m$ $in$ tale che $v=\sum_{i=1}^m v'_i$
ora basta prendere $v'_i=a_iv_i$ per ogni $i=1...m$, per l'unicità degli $a_i$ segue l'unicità dei $v'_i$ e quindi la tesi.

Viceversa poichè $$$=$$$$+...+ Oppure ragionando con la dimensione poichè $$$=$$$$+...+
giusta o sbagliata? ne esiste qualcuna migliore?

ora ve ne pongo un'altra sulla lineare indipendenza:
Sia $V$ $K$- spazio vettoriale; si supponga che $v_1,...,v_k$ siano linearmente indipendenti e dimostrare che $lambda_1v_1...lambda_kv_k$ sono linearmente indipendenti per ogni $lambda_i$ $in$ $K*$

ora dire che $v_1,...,v_k$ sono linearmente indipendenti equivale a dire per definizione che $AA a_1...a_k in K$ $0=\sum_{i=1}^k a_iv_i$ se e soltanto se gli scalari sono tutti nulli
ora pongo $a_i=lambda_1a'_1$ quindi si ha $0=\sum_{i=1}^k a'_ilambda_iv_i$ ora poichè $lambda_i !=0$ $per ogni i=1...k$ risulta $a'_1=0$ e questo segue che $lambda_iv_i$ sono linearmente indipendenti.

come sopra giusta o sbagliata?
Grazie mille

[cirasa]

Partiamo con la prima dimostrazione. Mi permetto di modificare il tuo post inserendo $\oplus$ dove la somma è diretta. Scusate se mi dilungherò troppo ma ci sono varie cose che non capisco.

"mistake89":
ora poichè so per ipotesi che $v_1,...,v_m$ generano lo spazio e sono linearmente indipendenti io so che $v_1...v_m$ è base per $V$.

Suppongo tu stia dimostrando $\Leftarrow$. $v_1...v_m$ generano $$ e sono linermente indipendenti, quindi formano una base di $$, non di $V$!

"mistake89":
Per una caratterizzazione so quindi che poichè $v_1,...,v_m$ allora $AA v in V$ $EE|$ $a_1...a_m$ $in K$ $t.c.$ $v=\sum_{i=1}^m a_iv_i$

Dovrebbe essere:
Per una caratterizzazione so quindi che poichè $v_1,...,v_m$ è base di $$, allora $AA v\in\ \ EE|\ \ a_1...a_m\ in K\ \ t.c.\ v=\sum_{i=1}^m a_iv_i$.

"mistake89":
ora basta prendere $v'_i=a_iv_i$ per ogni $i=1...m$, per l'unicità degli $a_i$ segue l'unicità dei $v'_i$ e quindi la tesi.

Qui non capisco cosa tu voglia dire. Devi provare che $\ =\oplus...\oplus$. Spiegati meglio, qual è la definizione di somma diretta per te (ce ne sono varie equivalenti)? Cosa arrivi a provare?

"mistake89":
Viceversa poichè $\ =\oplus...\oplus$, sapendo che quindi le intersezioni dei $v_i=O_v$, si deduce che tutti i vettori sono non proporzionali e quindi sono linearmente indipendenti.

Per provare che i vettori sono linearmente indipendenti, dovresti provare che l'unica combinazione lineare nulla è quella con scalari tutti nulli oppure che nessuno dei vettori si può scrivere come combinazione lineare degli altri.
Qui tu dici "i vettori sono non proporzionali", ma in che senso? Si parla di due vettori proporzionali, in che senso $m$ vettori non sono proporzionali? Vorrei che fossi più preciso.

"mistake89":
Oppure ragionando con la dimensione poichè $$$=$$$$+...+

Dovrebbe essere:
Oppure ragionando con la dimensione poichè $\ =\oplus...\oplus$ si ha che la $dim\ =m$ quindi $v_1,...,v_m$ è base di $$ e da ciò segue la lineare indipendenza.

[cirasa]

Veniamo ora alla seconda domanda:

"mistake89":
ora dire che $v_1,...,v_k$ sono linearmente indipendenti equivale a dire per definizione che $AA a_1...a_k in K$ $0=\sum_{i=1}^k a_iv_i$ se e soltanto se gli scalari sono tutti nulli
ora pongo $a_i=lambda_1a'_1$ quindi si ha $0=\sum_{i=1}^k a'_ilambda_iv_i$ ora poichè $lambda_i !=0$ $per ogni i=1...k$ risulta $a'_1=0$ e questo segue che $lambda_iv_i$ sono linearmente indipendenti.

Qui la tua idea è più chiara ma (IMHO) dovresti esprimerti un po' meglio ed essere più preciso. Inoltre, ti voglio far notare che non hai accennato all'implicazione opposta, cioè se per ogni $\lambda_1,...,\lambda_k\in K\setminus\{0\}$ si ha che $\lambda_1v_1,...,\lambda_kv_k$ sono linermente indipendenti, allora lo sono anche $v_1,...v_k$. Forse l'hai tralasciata volutamente perchè è ovvia?

[mistake89]

Ciao, innanzitutto ti ringrazio e chiedo scusa per la somma diretta ma il comando $\oplus$ non l'avevo trovato nella lista!
perdonami per i vari errori di battitura, purtroppo andavo di corsa e non sono riuscito a rileggere, perciò le cose che mi hai (giustamente) corretto che riguardano ciò non le riporterò.
Perdonami anche un altro errore banale ho assunto $V=$

"cirasa":Veniamo ora alla seconda domanda:
[quote="mistake89"]
ora dire che $v_1,...,v_k$ sono linearmente indipendenti equivale a dire per definizione che $AA a_1...a_k in K$ $0=\sum_{i=1}^k a_iv_i$ se e soltanto se gli scalari sono tutti nulli
ora pongo $a_i=lambda_1a'_1$ quindi si ha $0=\sum_{i=1}^k a'_ilambda_iv_i$ ora poichè $lambda_i !=0$ $per ogni i=1...k$ risulta $a'_1=0$ e questo segue che $lambda_iv_i$ sono linearmente indipendenti.

Qui la tua idea è più chiara ma (IMHO) dovresti esprimerti un po' meglio ed essere più preciso. Inoltre, ti voglio far notare che non hai accennato all'implicazione opposta, cioè se per ogni $\lambda_1,...,\lambda_k\in K\setminus\{0\}$ si ha che $\lambda_1v_1,...,\lambda_kv_k$ sono linermente indipendenti, allora lo sono anche $v_1,...v_k$. Forse l'hai tralasciata volutamente perchè è ovvia?[/quote]

Sì, ed anche perchè non mi si richiedeva esplicitamente la dimostrazione nel caso inverso. Solo per questo.

"cirasa":
[quote="mistake89"]
Per una caratterizzazione so quindi che poichè $v_1,...,v_m$ allora $AA v in V$ $EE|$ $a_1...a_m$ $in K$ $t.c.$ $v=\sum_{i=1}^m a_iv_i$

Dovrebbe essere:
Per una caratterizzazione so quindi che poichè $v_1,...,v_m$ è base di $$, allora $AA v\in\ \ EE|\ \ a_1...a_m\ in K\ \ t.c.\ v=\sum_{i=1}^m a_iv_i$.
[/quote]
Sisi hai perfettamente ragione ho saltato la parola base nella fretta!

"cirasa":
[quote="mistake89"]
ora basta prendere $v'_i=a_iv_i$ per ogni $i=1...m$, per l'unicità degli $a_i$ segue l'unicità dei $v'_i$ e quindi la tesi.

Qui non capisco cosa tu voglia dire. Devi provare che $\ =\oplus...\oplus$. Spiegati meglio, qual è la definizione di somma diretta per te (ce ne sono varie equivalenti)? Cosa arrivi a provare?[/quote]

Ho studiato una proposizione che dice che $U=U_1+...+U_n$ è somma diretta se e solo se $AA$ $v in U$ $EE| u_1 in U_1$ $...$$EE| u_n in U_n$ $t.c$ $v= \sum_{i=1}^n u_i$.
ecco il perchè della mia affermazione!

"cirasa":
[quote="mistake89"]
Viceversa poichè $\ =\oplus...\oplus$, sapendo che quindi le intersezioni dei $v_i=O_v$, si deduce che tutti i vettori sono non proporzionali e quindi sono linearmente indipendenti.

Per provare che i vettori sono linearmente indipendenti, dovresti provare che l'unica combinazione lineare nulla è quella con scalari tutti nulli oppure che nessuno dei vettori si può scrivere come combinazione lineare degli altri.
Qui tu dici "i vettori sono non proporzionali", ma in che senso? Si parla di due vettori proporzionali, in che senso $m$ vettori non sono proporzionali? Vorrei che fossi più preciso.[/quote]

allora cercherò di essere più chiaro (se riesco!):
consideriamo $$ e $$ per $i,j = 1...m$ $i!=j$
se i due vettori fossero proporzionali l'intersezione degli spazi da essi generato non sarebbe più vuota venendo così a mancare l'ipotesi che essi sono somma diretta. Poichè questo ragionamento si può ripetere a due a due per tutti i $$ e $$ ho detto in senso generale che essi non contengono vettori tra loro proporzionali.

"cirasa":
[quote="mistake89"]
Oppure ragionando con la dimensione poichè $$$=$$$$+...+

Dovrebbe essere:
Oppure ragionando con la dimensione poichè $\ =\oplus...\oplus$ si ha che la $dim\ =m$ quindi $v_1,...,v_m$ è base di $$ e da ciò segue la lineare indipendenza.[/quote]

Si scusami, anche qui hai ragione, ho assunto lo spazio $ V=$

grazie ancora

[cirasa]

"mistake89":
Ho studiato una proposizione che dice che $U=U_1+...+U_n$ è somma diretta se e solo se $AA$ $v in U$ $EE| u_1 in U_1$ $...$$EE| u_n in U_n$ $t.c$ $v= \sum_{i=1}^n u_i$.
ecco il perchè della mia affermazione!

Ho capito che hai capito. Ma nello spiegare questo fatto, secondo me, non eri stato sufficientemente chiaro. Ecco il motivo per cui ti ho chiesto ulteriori dettagli.

"mistake89":
allora cercherò di essere più chiaro (se riesco!):
consideriamo $$ e $$ per $i,j = 1...m$ $i!=j$
se i due vettori fossero proporzionali l'intersezione degli spazi da essi generato non sarebbe più vuota venendo così a mancare l'ipotesi che essi sono somma diretta. Poichè questo ragionamento si può ripetere a due a due per tutti i $$ e $$ ho detto in senso generale che essi non contengono vettori tra loro proporzionali.

Qui secondo me commetti un errore. Ti spiego perchè:
Prendi i vettori $v=(1,0,0)$, $w=(0,1,0)$, $u=(1,1,0)$. Essi sono a due a due linearmente indipendenti (cioè a due a due non proporzionali), ma non è affatto vero che sono linearmente indipendenti! Infatti, è facile verificare che $u=v+w$.
Nel tuo caso per verificare che $v_1,...,v_m$ sono linearmente indipendenti non è sufficiente verificare che sono a due a due non proporzionali!
Devi prendere una combinazione lineare nulla di $v_1,...,v_m$ e verificare che necessariamente gli scalari devono essere tutti nulli (se ti va, puoi provare a farlo nella tua dimostrazione).

Spero di esserti stato utile.
Un saluto da un barese come te!

[mistake89]

si ti ringrazio, mi sei stato utilissimo, anche quando mi hai detto che non ero stato sufficientemente chiaro, oltre che nell'errore madornale commesso circa i vettori proporzionali. In effetti detto come l'hai detto tu è davvero semplice e chiaro capire dove ho sbagliato!