Dimostrazione che sulla chiusura di E

[fransis2]

Sia A un insieme, B=A unito la frontiera di A, la chiusura di A, allora B è il più piccolo chiuso che contiene A. Il mio libro lo dimostra così. Sia C un chiuso che contiene A. Se x è un elemento esterno per C, allora
1)esiste un intorno I di x cosituito da soli elementi del complementare di C.
2) Poichè C include A, allora il complementare di C è incluso nel complementare di A.
Quindi unendo la 1) e la 2) si ottiene che I è costituito da elementi del complentare di A. Quindi
3) x è esterno per A.
4) riepilogando ogni punto esterno per C è esterno anche per A.
Adesso:
5) un punto generico può essere solo interno, eseterno o di frontiera per A.
6) I punti di B sono tutti e i soli i punti interni e di frontiera per A.
unendo la 5) e la 6) si ottiene che
7)i punti del complementare di B sono tutti e soli quelli esterni ad A.
Sia y un punto di B. Allora, se per assurdo fosse esterno per C allora per 4) sarebbe anche esterno per A. Ma allora per 7) sarebbe nel complementare di B, assurdo. Quindi
8) y non è esterno per C (è interno o di frontiera per C).
Poichè C è chiuso
9)i punti di C sono tutti e soli i punti interni o di frontiera per C.
unendo 8), 9) si ha
10) y appartiene a C.
Riepilogando:
11) ogni elemento y di B è un elemento di C.
Cioè C contiene B, dunque B è contenuto in tutti i chiusi che contengono A.
Io questa dimostrazione l'ho capita, però ho pensato che si poteva più semplicemente dire che B è chiuso poichè contiene la frontiera, d'altronde qualsiasi altro chiuso che contiene A, poichè è chiuso, contiene la fronitera, quindi è incluso in B. Mi sta più facile ricordarla così. Quindi sed voi mi dite che la dimostrazione va bene, memorizzo questa.

[dissonance]

che macello! Tu cosa intendi dire? Se vuoi dire: ogni chiuso $F$ che contiene $A$ contiene anche la frontiera di $A$ e perciò $\bar{A}$ (la chiusura di A) va bene.
In genere però si fa tutto all'inverso: dato $A$, definiamo $\bar{A}$ come l'intersezione di tutti i chiusi che contengono $A$, cioè (l'intersezione di chiusi è sempre un chiuso) il più piccolo dei chiusi contenente $A$. Questo insieme definito così, successivamente te lo caratterizzi in vari modi diversi: una possibilità è quella che hai detto tu ($A uu text(Fr)(A)$).