Dimostrazione centro di una conica
Abbiamo definito il centro di una conica C, usando la riflessione centrale, ossia la trasformazione affine $\phi:E^3 to E^3$ definita da $\phi(P) = 2C-P$ , come:
$AAP inQ$ $F(P)=\lambdaF(2C-P) $con $\lambda inR$ e $\lambda!=0$
E' necessario dimostrare che questa definizione coincide con la definizione di centro data in questo modo:
considerata una quadrica $Q$ di equazione matriciale $P^TAP+2a^TP+a_(00)=0$
dove $P^T=(x,y,z)^T$ , $a^T=(a_(10),a_(20),a_(30))^T$, e $A=((a_(11),a_(12), a_(13)),(a_(12),a_(22),a_(23)),(a_(13),a_(23),a_(33)))$
il punto $C$ è detto centro di simmetria se e solo se soluzione del sistema $AP+a=0$
Ho pensato di supporre che $C$ sia soluzione del sistema e sostituire dunque all'equazione $F(P) = \lambdaF(2C-P)$ l'equazione $F(P)=\lambdaF(2(AP+a)-P)$ e dimostrare che l'uguaglianza sia verificata.. ma non sono granché sicura di questa idea..
$AAP inQ$ $F(P)=\lambdaF(2C-P) $con $\lambda inR$ e $\lambda!=0$
E' necessario dimostrare che questa definizione coincide con la definizione di centro data in questo modo:
considerata una quadrica $Q$ di equazione matriciale $P^TAP+2a^TP+a_(00)=0$
dove $P^T=(x,y,z)^T$ , $a^T=(a_(10),a_(20),a_(30))^T$, e $A=((a_(11),a_(12), a_(13)),(a_(12),a_(22),a_(23)),(a_(13),a_(23),a_(33)))$
il punto $C$ è detto centro di simmetria se e solo se soluzione del sistema $AP+a=0$
Ho pensato di supporre che $C$ sia soluzione del sistema e sostituire dunque all'equazione $F(P) = \lambdaF(2C-P)$ l'equazione $F(P)=\lambdaF(2(AP+a)-P)$ e dimostrare che l'uguaglianza sia verificata.. ma non sono granché sicura di questa idea..
Risposte
Secondo me le notazioni vanno modificate. L'equazione della generica conica del piano affine è:
$a_{11}x^2+2a_{12}xy+a_{22}y^2+2a_{13}x+2a_{23}y+a_{33}=0$
Essa può scrivere in forma matriciale come segue :
(1) $P^TAP+2a^TP+a_{33}=$ 0
dove:
$P=((x),(y)),A=((a_{11},a_{12}),(a_{12},a_{22})),a=((a_{13}),(a_{23}))$
Ora, se P è un generico punto della conica e C è il centro di essa, allora anche il punto $2C-P$ appartiene alla conica.
Pertanto, sostituendo $2C-P$ nella (1), si ha l'equazione:
$(2C-P)^TA(2C-P)+2a^T(2C-P)+a_{33}=$ 0
Sviluppando l'ultima equazione si ha :
(2) $4C^TAC-2C^TAP-2P^TAC+P^TAP+4a^TC-2a^TP+a_{33}=$ 0
Sottraendo da (2) la (1) risulta:
$4C^TAC-2C^TAP-2P^TAC+4a^TC-4a^TP=$ 0
Ovvero :
$4(C^TA+a^T)C-2(C^TAP+P^TAC-2a^TP)=$ 0
Questa equazione deve essere verificata per qualsiasi punto P della conica e ciò esige che i suoi coefficienti siano vettori nulli :
$ C^TA+a^T=$ 0
$C^TAP+P^TAC-2a^TP$=0
Tenuto conto che A è matrice simmetrica ( $A^T=A$), la prima equazione diventa :
$C^TA^T+a^T=$ 0
Ovvero :
$(AC+a)^T=$ 0
da cui :
$AC+a=$ 0
che è appunto l'equazione a cui deve soddisfare il centro C della conica.
La seconda equazione, in conseguenza di quanto precede, è identicamente soddisfatta. Lascio a te la verifica...
$a_{11}x^2+2a_{12}xy+a_{22}y^2+2a_{13}x+2a_{23}y+a_{33}=0$
Essa può scrivere in forma matriciale come segue :
(1) $P^TAP+2a^TP+a_{33}=$ 0
dove:
$P=((x),(y)),A=((a_{11},a_{12}),(a_{12},a_{22})),a=((a_{13}),(a_{23}))$
Ora, se P è un generico punto della conica e C è il centro di essa, allora anche il punto $2C-P$ appartiene alla conica.
Pertanto, sostituendo $2C-P$ nella (1), si ha l'equazione:
$(2C-P)^TA(2C-P)+2a^T(2C-P)+a_{33}=$ 0
Sviluppando l'ultima equazione si ha :
(2) $4C^TAC-2C^TAP-2P^TAC+P^TAP+4a^TC-2a^TP+a_{33}=$ 0
Sottraendo da (2) la (1) risulta:
$4C^TAC-2C^TAP-2P^TAC+4a^TC-4a^TP=$ 0
Ovvero :
$4(C^TA+a^T)C-2(C^TAP+P^TAC-2a^TP)=$ 0
Questa equazione deve essere verificata per qualsiasi punto P della conica e ciò esige che i suoi coefficienti siano vettori nulli :
$ C^TA+a^T=$ 0
$C^TAP+P^TAC-2a^TP$=0
Tenuto conto che A è matrice simmetrica ( $A^T=A$), la prima equazione diventa :
$C^TA^T+a^T=$ 0
Ovvero :
$(AC+a)^T=$ 0
da cui :
$AC+a=$ 0
che è appunto l'equazione a cui deve soddisfare il centro C della conica.
La seconda equazione, in conseguenza di quanto precede, è identicamente soddisfatta. Lascio a te la verifica...
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