Dimostrazione caratterizzazione continuità globale per funzioni tra spazi topologici
Salve! Avrei bisogno di delucidazioni riguardo una dimostrazione, se possibile.
Ho già visto che sul forum viene accettata come definizione il seguente enunciato:
\( f:(X,\tau )\rightarrow (X',\tau ') \) è continua \( \Longleftrightarrow \forall A'\epsilon \tau ', f^-1(A')\epsilon \tau \)
Invece io dovrei dimostrarlo, tenendo conto che:
1) \( f:(X,\tau )\rightarrow (X',\tau ') \) continua in \( a\epsilon X \Longleftrightarrow \forall U'\epsilon I(f(a)) \exists U\epsilon I(a):f(U)\subseteq U' \) , dove \( I(f(a)) \) è l'insieme degli intorni di \( f(a) \) , \( I(a) \) è l'insieme degli intorni di \( a \) ;
2) \( f \) è continua globalmente \( \Longleftrightarrow \) è continua in ogni punto \( a\epsilon X \).
Vi riporto quanto ho scritto nei miei appunti:
\( \forall A'\epsilon \tau ', f^-1(A')=\emptyset \) \( \epsilon \tau \) oppure \( \exists a\epsilon X: a\epsilon f^-1(A')\Rightarrow f(a)\epsilon A', A' \) intorno aperto di \( f(a) \) e f è continua in \( a \) .
Per la caratterizzazione locale della continuità in un punto, \( f^-1(A')\epsilon I(a) \)
Allora in particolare \( a\epsilon Int(f^-1(A')) \)
\( \Rightarrow f^-1(A')=Int(f^-1(A'))\Rightarrow f^-1(A')\epsilon \tau \)
Quello che non capisco è proprio l'ultimo passaggio. Mi trovo che la controimmagine di un intorno di \( f(a) \) sia un intorno di \( a \) , ma perchè coincide con la sua parte interna, cioè è un aperto?
Spero che qualcuno possa aiutarmi, perchè scommetto che la spiegazione sia molto semplice, ma al momento davvero non riesco ad arrivarci!
Ho già visto che sul forum viene accettata come definizione il seguente enunciato:
\( f:(X,\tau )\rightarrow (X',\tau ') \) è continua \( \Longleftrightarrow \forall A'\epsilon \tau ', f^-1(A')\epsilon \tau \)
Invece io dovrei dimostrarlo, tenendo conto che:
1) \( f:(X,\tau )\rightarrow (X',\tau ') \) continua in \( a\epsilon X \Longleftrightarrow \forall U'\epsilon I(f(a)) \exists U\epsilon I(a):f(U)\subseteq U' \) , dove \( I(f(a)) \) è l'insieme degli intorni di \( f(a) \) , \( I(a) \) è l'insieme degli intorni di \( a \) ;
2) \( f \) è continua globalmente \( \Longleftrightarrow \) è continua in ogni punto \( a\epsilon X \).
Vi riporto quanto ho scritto nei miei appunti:
\( \forall A'\epsilon \tau ', f^-1(A')=\emptyset \) \( \epsilon \tau \) oppure \( \exists a\epsilon X: a\epsilon f^-1(A')\Rightarrow f(a)\epsilon A', A' \) intorno aperto di \( f(a) \) e f è continua in \( a \) .
Per la caratterizzazione locale della continuità in un punto, \( f^-1(A')\epsilon I(a) \)
Allora in particolare \( a\epsilon Int(f^-1(A')) \)
\( \Rightarrow f^-1(A')=Int(f^-1(A'))\Rightarrow f^-1(A')\epsilon \tau \)
Quello che non capisco è proprio l'ultimo passaggio. Mi trovo che la controimmagine di un intorno di \( f(a) \) sia un intorno di \( a \) , ma perchè coincide con la sua parte interna, cioè è un aperto?
Spero che qualcuno possa aiutarmi, perchè scommetto che la spiegazione sia molto semplice, ma al momento davvero non riesco ad arrivarci!
Risposte
Ricordati che la parte interna è un sottoinsieme di $f^(-1)(A)$ (è l'unione di tutti gli aperti contenuti in $f^(-1)(A)$ quindi $Int(f^(-1)(A))subef^(-1)(A)$ ), tu hai mostrato che ogni elemento di $f^(-1)(A)$ sta nella parte interna (ovvero $Int(f^(-1)(A))supef^(-1)(A)$ ) e quindi coincidono per doppia inclusione . Comunque ti saresti potuta fermare quando hai mostrato che $f^(-1)(A)$ è intorno di ogni suo punto (questo già ti da che $f^(-1)(A)$ è aperto)
Perchè OGNI suo punto è interno per l'arbitrarietà di $x$.
Ok, immaginavo fosse qualcosa di immediato!
Quindi, per scriverlo in formule, \( \forall a\epsilon f^-1(A'), f^-1(A')\epsilon I(a)\Longrightarrow a\epsilon Int(f^-1(A'))\Rightarrow f^-1(A')\subseteq Int(f^-1(A')) \)
In effetti quello a cui non stavo pensando è proprio che OGNI punto è interno, mi ero fissata sul singolo elemento e quindi mi ero fermata alla classica inclusione: \( Int(f^-1(A'))\subseteq f^-1(A') \) ...
In ogni caso, grazie!
Quindi, per scriverlo in formule, \( \forall a\epsilon f^-1(A'), f^-1(A')\epsilon I(a)\Longrightarrow a\epsilon Int(f^-1(A'))\Rightarrow f^-1(A')\subseteq Int(f^-1(A')) \)
In effetti quello a cui non stavo pensando è proprio che OGNI punto è interno, mi ero fissata sul singolo elemento e quindi mi ero fermata alla classica inclusione: \( Int(f^-1(A'))\subseteq f^-1(A') \) ...
In ogni caso, grazie!
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