Dimostrazione algebra lineare
Salve ragazzi , ho da poco sostenuto l'esame di algebra lineare e domani avrò , si spera , l' orale.
Lo scritto , contro le aspettative , è stato pieno di domande teoriche, bha
Comunque le mie domande sono queste , la risposta dovrebbe essere una dimostrazione.
1.1 Data una matrice invertibile A , la sua inversa ha gli stessi autovalori ? e autospazi ?
ho risposto no ad entrambe le domande , poi ho preso due matrici semplici semplici e ho fatto una dimostrazione parziale.
1.2 è vero che se A è una matrice ortogonale e lo è anche il prodotto $ AB $ allora anche B è ortogonale ?
Questa domanda mi sembrava abbastanza scontata , ma non ho avuto tempo per la dimostrazione per via del compito troppo lungo ( 12 domande in 2 ore e mezza)
1.3 Sia T un' a.l. , è vero che se $ U e V $ sono autospazi relativi ai rispettivi autovalori $ u, v $ allora $ U+V $ è autovettore relativo all' autovalore $ u+v $
Per il resto lo scritto è stato un ' insieme di altre domande diciamo teoriche , e qualcosina di pratica che però è andata liscia come l' olio anche grazie al vostro aiuto !
Lo scritto , contro le aspettative , è stato pieno di domande teoriche, bha
Comunque le mie domande sono queste , la risposta dovrebbe essere una dimostrazione.
1.1 Data una matrice invertibile A , la sua inversa ha gli stessi autovalori ? e autospazi ?
ho risposto no ad entrambe le domande , poi ho preso due matrici semplici semplici e ho fatto una dimostrazione parziale.
1.2 è vero che se A è una matrice ortogonale e lo è anche il prodotto $ AB $ allora anche B è ortogonale ?
Questa domanda mi sembrava abbastanza scontata , ma non ho avuto tempo per la dimostrazione per via del compito troppo lungo ( 12 domande in 2 ore e mezza)
1.3 Sia T un' a.l. , è vero che se $ U e V $ sono autospazi relativi ai rispettivi autovalori $ u, v $ allora $ U+V $ è autovettore relativo all' autovalore $ u+v $
Per il resto lo scritto è stato un ' insieme di altre domande diciamo teoriche , e qualcosina di pratica che però è andata liscia come l' olio anche grazie al vostro aiuto !
Risposte
1) Basta chiedersi se i polinomi caratteristici
$$p_A=\det(A-\lambda I),\qquad p_{A^{-1}}=\det(A^{-1}-\lambda I)$$
possano avere le stesse soluzioni, in generale. Inutile scomodare casi particolari per la dimostrazione: al massimo potevi usarlo come controesempio.
P.S.: però se editi prima che uno ti risponda, poi le cose si complicano.
$$p_A=\det(A-\lambda I),\qquad p_{A^{-1}}=\det(A^{-1}-\lambda I)$$
possano avere le stesse soluzioni, in generale. Inutile scomodare casi particolari per la dimostrazione: al massimo potevi usarlo come controesempio.
P.S.: però se editi prima che uno ti risponda, poi le cose si complicano.
Scusami ..
"Light1992":
1.1 Data una matrice invertibile A , la sua inversa ha gli stessi autovalori ? e autospazi ?
ho risposto no ad entrambe le domande , poi ho preso due matrici semplici semplici e ho fatto una dimostrazione parziale.
Inutile scomodare anche i polinomi caratteristici. Sia \(\displaystyle v \) un autovettore di \(\displaystyle A \) allora \(\displaystyle Av = \lambda v \) e quindi \(\displaystyle v = A^{-1}Av = \lambda A^{-1}v \). Ma allora \(\displaystyle \lambda^{-1} \) è autovalore di \(\displaystyle A \). Gli autovalori di \(\displaystyle A^{-1} \) sono quindi gli inversi di quelli di \(\displaystyle A \) e non è detto che l'insieme degli autovalori sia chiuso per inversione.
Detto questo invece \(\displaystyle A^{-1} \) ha gli stessi autospazi di \(\displaystyle A \). Infatti ogni autospazio viene mandato in sé stesso (lo stesso deve quindi valere per la controimmagine. Inoltre sopra ho dimostrato anche quale sia l'autovalore collegato all'autospazio.
"Light1992":
1.2 è vero che se A è una matrice ortogonale e lo è anche il prodotto $ AB $ allora anche B è ortogonale ?
Questa domanda mi sembrava abbastanza scontata , ma non ho avuto tempo per la dimostrazione per via del compito troppo lungo ( 12 domande in 2 ore e mezza)
Allora \(\displaystyle A^{-1} = A^t \) ed inoltre hai che
\begin{align} (AB)^{-1} &= (AB)^t \\
B^{-1}A^{-1} &= B^t A^t \\
B^{-1}A^t &= B^t A^t \\
B^{-1} &= B^t \\
\end{align}
Sinceramente a me sembra che più 10 minuti per ognuna di queste domande sia un tempo piuttosto adeguato.
"Light1992":
1.3 Sia T un' a.l. , è vero che se $ U e V $ sono autospazi relativi ai rispettivi autovalori $ u, v $ allora $ U+V $ è autovettore relativo all' autovalore $ u+v $
Nessun tentativo?
Supponi si abbia \(\displaystyle u\neq v\neq 0 \) (uno dei due lo deve essere!), siccome \(\displaystyle U \subseteq U + V \) allora se \(\displaystyle U+V \) fosse un autospazio ci sarebbero due autospazi con intersezione non nulla e autovalori diversi, ma questo è impossibile.
P.S.: Evita abbreviazioni.
@vict: io facevo la stessa cosa ma usando il polinomio caratteristico. E' identico. Prova! 
Ringrazio entrambi per le risposte, chiarissimi 
Comunque :
Ti dico , per questo genere di domande si , il compito tuttavia era composto anche di diversi esercizi che richiedevano parecchi calcoli ( ricerca autovalori con parametri , coniche e metriche etc etc ) , e , almeno per me , richiedevano un pò più di 10 minuti. In più il tempo passava e l'ansia di non finire tutti gli esercizi cresceva , quindi si rischia a mio avviso di mandare in confusione\paranoia lo studente , cosa evitabile..
Comunque :
Sinceramente a me sembra che più 10 minuti per ognuna di queste domande sia un tempo piuttosto adeguato.
Ti dico , per questo genere di domande si , il compito tuttavia era composto anche di diversi esercizi che richiedevano parecchi calcoli ( ricerca autovalori con parametri , coniche e metriche etc etc ) , e , almeno per me , richiedevano un pò più di 10 minuti. In più il tempo passava e l'ansia di non finire tutti gli esercizi cresceva , quindi si rischia a mio avviso di mandare in confusione\paranoia lo studente , cosa evitabile..
"ciampax":
@vict: io facevo la stessa cosa ma usando il polinomio caratteristico. E' identico. Prova!
Si, però la mia risposta vale anche per gli spazi vettoriali di dimensione infinita
."Light1992":
Ti dico , per questo genere di domande si , il compito tuttavia era composto anche di diversi esercizi che richiedevano parecchi calcoli ( ricerca autovalori con parametri , coniche e metriche etc etc ) , e , almeno per me , richiedevano un pò più di 10 minuti. In più il tempo passava e l'ansia di non finire tutti gli esercizi cresceva , quindi si rischia a mio avviso di mandare in confusione\paranoia lo studente , cosa evitabile..
Ok, se ci sono gli esercizi allora è tutta un'altra storia. Le domande di questo tipo con il tempo imparerai a risolverle in tempi brevissimi. Gli esercizi, per quanto uno possa sapere come si fanno, richiedono il loro tempo.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo