Dimostrazione
salve ragazzi qualche anima buona che mi spieghi la risoluzione di questi quesiti ? sono negata grazie 
Sia f : V → V1 una applicazione lineare; si dimostri che se S = [v1, . . . , vt] è un sistema di generatori di V , allora S1 = [f(v1), . . . , f(vt)] è un sistema di generatori dell’immagine Immf di f.
Si dia la definizione di dimensione di uno spazio vettoriale e si dimostri che spazi vettoriali isomorfi
hanno la stessa dimensione.
Si dia la definizione di nucleo di una applicazione lineare provando che `e sempre un sottospazio del
dominio. Si dimostri poi che un’applicazione lineare `e un monomorfismo se e solo se il suo nucleo `e
il sottospazio nullo.
Si dia la definizione di sistema di vettori linearmente indipendente di uno spazio vettoriale. Si enunci
il Lemma di Stainitz e si esibiscano un esempio di sistema di vettori linearmente indipendenti ed un
esempio di sistema di vettori linearmente dipendenti di R.
Si dia la definizione di base di uno spazio vettoriale. Si enunci e si dimostri una condizione necessaria
e sufficiente affinch`e un sistema di vettori sia una base di uno spazio vettoriale.
Si definiscano autovalori ed autovettori di un endomorfismo e si dimostri che un endomorfismo f `e un isomorfismo se e solo se i suoi autovalori sono tutti diversi da 0.
Si dia la definizione di sistema di vettori linearmente indipendenti e si dimostri che se
f : V →W `e un monomorfismo e [v1, . . . , vt] `e un sistema di vettori linearmente indipendenti di V , allora
[f(v1), . . . ,(vt)] `e un sistema di vettori linearmente indipendenti di W.
Sia f : V → V1 una applicazione lineare; si dimostri che se f è un monomorfismo e
S = [v1, . . . , vt] `e un sistema indipendente di vettori di V , allora S1 = [f(v1), . . . , f(vt)] è un sistema indipendente di
ettori di V1.
Siano U e W sottospazi di uno spazio vettoriale V ; si dimostri che l’intersezione U ∩ W è un
sottospazio di V.
– Si enunci e si dimostri una condizione necessaria e sufficiente affinch è un sottoinsieme W di uno
spazio vettoriale V sia un sottospazio.
Siano U e W sottospazi di uno spazio vettoriale V ; posto U + W = {u + w|u ∈ U, w ∈ W}, si provi
che tale insieme `e un sottospazio di V.
Si dia la definizione di immagine di una applicazione lineare e si provi che è un sottospazio del codominio.
Sia f : V → V1 una applicazione lineare; si dimostri che se S = [v1, . . . , vt] è un sistema di generatori di V , allora S1 = [f(v1), . . . , f(vt)] è un sistema di generatori dell’immagine Immf di f.
Si dia la definizione di dimensione di uno spazio vettoriale e si dimostri che spazi vettoriali isomorfi
hanno la stessa dimensione.
Si dia la definizione di nucleo di una applicazione lineare provando che `e sempre un sottospazio del
dominio. Si dimostri poi che un’applicazione lineare `e un monomorfismo se e solo se il suo nucleo `e
il sottospazio nullo.
Si dia la definizione di sistema di vettori linearmente indipendente di uno spazio vettoriale. Si enunci
il Lemma di Stainitz e si esibiscano un esempio di sistema di vettori linearmente indipendenti ed un
esempio di sistema di vettori linearmente dipendenti di R.
Si dia la definizione di base di uno spazio vettoriale. Si enunci e si dimostri una condizione necessaria
e sufficiente affinch`e un sistema di vettori sia una base di uno spazio vettoriale.
Si definiscano autovalori ed autovettori di un endomorfismo e si dimostri che un endomorfismo f `e un isomorfismo se e solo se i suoi autovalori sono tutti diversi da 0.
Si dia la definizione di sistema di vettori linearmente indipendenti e si dimostri che se
f : V →W `e un monomorfismo e [v1, . . . , vt] `e un sistema di vettori linearmente indipendenti di V , allora
[f(v1), . . . ,(vt)] `e un sistema di vettori linearmente indipendenti di W.
Sia f : V → V1 una applicazione lineare; si dimostri che se f è un monomorfismo e
S = [v1, . . . , vt] `e un sistema indipendente di vettori di V , allora S1 = [f(v1), . . . , f(vt)] è un sistema indipendente di
ettori di V1.
Siano U e W sottospazi di uno spazio vettoriale V ; si dimostri che l’intersezione U ∩ W è un
sottospazio di V.
– Si enunci e si dimostri una condizione necessaria e sufficiente affinch è un sottoinsieme W di uno
spazio vettoriale V sia un sottospazio.
Siano U e W sottospazi di uno spazio vettoriale V ; posto U + W = {u + w|u ∈ U, w ∈ W}, si provi
che tale insieme `e un sottospazio di V.
Si dia la definizione di immagine di una applicazione lineare e si provi che è un sottospazio del codominio.
Risposte
per favore lunedi ho un esame e non so dove mettere le mani
Ciao adrybeach, sarebbe contro regolamento fornirti delle soluzioni ai quesiti senza che tu abbia dapprima fornito un tuo tentativo di risoluzione. Io ora di do delle dritte per risolverli, però poi tocca a te. In ogni caso scrivi la tua risoluzione qui e qualcuno ti dirà se è giusto o sbagliato il ragionamento. Allora
1) prendi $w \in Imm(f)$, per definizione esiste $v\in V$ tale che $f(v)=w$. Per ipotesi sai che $\{v_1,..,v_t\}$ sono un sistema di generatori per $V$. Usa questa definizione e la linearità di $f$ per concludere.
2) Per provare che spazi vettoriali isomorfi hanno la stessa dimensione usa il teorema della dimensione.
3) Un sottospazio vettoriale di uno spazio $V$ è un sottoinsieme che rispetta determinate condizioni. Verifica che gli elementi del nucleo verifichino tali condizioni. La prova della seconda parte risiede tutta nelle definizioni di nucleo e monomofismo.
4) Non conosco il Lemma di Stainitz, o forse lo conosco ma non so che si chiama così, magari scrivimi l'enunciato
5) Cos'è una base? e cos'è un sistema di generatori? sono definizioni simili, ma profondamente diverse..parti da queste.
6) Se un endomorfismo $f$ ha un autovalore nullo. $i.e.$ uguale a $0$, allora il suo autospazio è non banale, ma sopratutto questo coincide con che cosa?
7) Si risolve in maniera identica al punto 1), con la differenza che non parli di sistema di generatori ma di vettori l.i.
8) come sopra... è lo stesso quesito.
9) Come per il punto 3) guarda se $U\cap W$ verifica certe condizioni.
10) Come nel punto 9) applicato a $U+W$.
11) Verifica che $Imm(f)$ verifica le condizioni di sottospazio.
Ora prova a risolvere, semmai riscrivi. Non ho scritto le definizioni perché quelle le trovi su un libro o internet..
1) prendi $w \in Imm(f)$, per definizione esiste $v\in V$ tale che $f(v)=w$. Per ipotesi sai che $\{v_1,..,v_t\}$ sono un sistema di generatori per $V$. Usa questa definizione e la linearità di $f$ per concludere.
2) Per provare che spazi vettoriali isomorfi hanno la stessa dimensione usa il teorema della dimensione.
3) Un sottospazio vettoriale di uno spazio $V$ è un sottoinsieme che rispetta determinate condizioni. Verifica che gli elementi del nucleo verifichino tali condizioni. La prova della seconda parte risiede tutta nelle definizioni di nucleo e monomofismo.
4) Non conosco il Lemma di Stainitz, o forse lo conosco ma non so che si chiama così, magari scrivimi l'enunciato
5) Cos'è una base? e cos'è un sistema di generatori? sono definizioni simili, ma profondamente diverse..parti da queste.
6) Se un endomorfismo $f$ ha un autovalore nullo. $i.e.$ uguale a $0$, allora il suo autospazio è non banale, ma sopratutto questo coincide con che cosa?
7) Si risolve in maniera identica al punto 1), con la differenza che non parli di sistema di generatori ma di vettori l.i.
8) come sopra... è lo stesso quesito.
9) Come per il punto 3) guarda se $U\cap W$ verifica certe condizioni.
10) Come nel punto 9) applicato a $U+W$.
11) Verifica che $Imm(f)$ verifica le condizioni di sottospazio.
Ora prova a risolvere, semmai riscrivi. Non ho scritto le definizioni perché quelle le trovi su un libro o internet..
so bene il vostro regolamento ! me ne accorgo ogni volta che cerco qualcosa e trovo un post in questo forum 
soltanto che ho l'esame lunedi mattina e non ho studiato nulla di teoria...ho solo imparato a fare gli esercizi ma c'è anche una domanda di teoria allo scritto...studio ingegneria elettrica e quest'esame non mi servirà a nulla! mi dispiace anche aver postato questa domanda così, mi rendo conto che sembra che io non voglia studiare e nemmeno che voglia provarci ... ma se sapessi che ho passato con quest'esame stupidissimo capiresti il mio rifiuto... ti ringrazio lo stesso ma veramente non ho le competenze per dimostrare quei quesiti anche grazie alle tue , mi rendo conto, ottime direttive (ma per me inutili)
soltanto che ho l'esame lunedi mattina e non ho studiato nulla di teoria...ho solo imparato a fare gli esercizi ma c'è anche una domanda di teoria allo scritto...studio ingegneria elettrica e quest'esame non mi servirà a nulla! mi dispiace anche aver postato questa domanda così, mi rendo conto che sembra che io non voglia studiare e nemmeno che voglia provarci ... ma se sapessi che ho passato con quest'esame stupidissimo capiresti il mio rifiuto... ti ringrazio lo stesso ma veramente non ho le competenze per dimostrare quei quesiti anche grazie alle tue , mi rendo conto, ottime direttive (ma per me inutili)
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