Dimostrazioine unicità di 3 circonferenze

[Elena41]

Ciao a tutti!
Volevo chiedervi una mano nel dimostrare questo enunciato:

Dimostrare che dati 3 punti nel piano non allineati, esistono, uniche, 3 circonferenze con centri nei vertici di un triangolo generico e tangenti a due a due.

Grazie!

[Seneca1]

Che relazione c'è tra i 3 punti non allineati e triangolo/circonferenza?

[Elena41]

Scusami, hai ragione.. I 3 punti non allineati sono i vertici del triangolo scaleno.

[Palliit]

Ciao, ci provo. Chiamiamo $A, B, C$ i tre vertici, $r_A, r_B, r_C$ i raggi delle circonferenze rispettivamente centrate in $A, B, C$; le lunghezze dei lati siano fissate; allora dev'essere:

[tex]\left\{\begin{matrix}
\overline{AB}=r_A+r_B\\
\overline{AC}=r_A+r_C\\

\overline{BC}=r_B+r_C\end{matrix}\right.[/tex];

sommando le prime due e quindi sostituendo la terza si ottiene:

[tex]\overline{AB}+\overline{AC}=2r_A+r_B+r_C=2r_A+\overline{BC}[/tex] , da cui: [tex]r_A=\frac{1}{2}(\overline{AB}+\overline{AC}-\overline{BC})[/tex] ,

che è certamente positivo se il triangolo non è degenere ed è evidentemente unico. In modo analogo trovi gli altri due raggi. Funziona?

[Elena41]

Direi di sì.. Grazie!