Dimostrare $f^3=id$
salve, non riesco a risolvere un esercizio per l'esame, il questito e il seguente:
Sia $f$ l'endomorfismo di $R^3$ definito come $ f((x,y,z))=(y,z,x)$ dimostrare che $f^3=id$
sul libro di teoria riporta che l'endomorfismo $f^2=id$ se e solo se la matrice $A$ associata ad $f$ è involutoriama di $f^3$ non ne parla.
Sia $f$ l'endomorfismo di $R^3$ definito come $ f((x,y,z))=(y,z,x)$ dimostrare che $f^3=id$
sul libro di teoria riporta che l'endomorfismo $f^2=id$ se e solo se la matrice $A$ associata ad $f$ è involutoriama di $f^3$ non ne parla.
Risposte
Sia $v=(v_1,v_2,v_3) in RR^3$
Devi semplicemente mostrare che $f(f(f(v)))=v$
Abbiamo che $f(v)=f(v_1,v_2,v_3)=(v_2,v_3,v_1)$
quindi $f(f(v))=f(v_2,v_3,v_1)=(v_3,v_1,v_2)$
quindi $f(f(f(v)))=...$
Devi semplicemente mostrare che $f(f(f(v)))=v$
Abbiamo che $f(v)=f(v_1,v_2,v_3)=(v_2,v_3,v_1)$
quindi $f(f(v))=f(v_2,v_3,v_1)=(v_3,v_1,v_2)$
quindi $f(f(f(v)))=...$
grazie infinite Gi8, è tutto chiaro, posso chiederti un altra cosa? sempre nello stesso esercizio c'è la seguente richiesta:
scrivere una rappresentazione cartesiana dello spazio $f(W)$, con $W: x-y+z=0$.
Ho provato a risolverlo nel modo seguente ma non sono sicuro se il metodo è corretto:
lo spazio delle soluzioni di $x-y+z=0$ è $(h, h+k,k)$ da cui corrisponde una base di W $((1,0,0)(0,1,1)(1,2,1))$ da cui $f(W)=((0,0,1)(1,1,0)(2,1,1))$
la rappresentazione parametrica di f(W) è $ (( x=h+k ),( y=h ),( z=k )) $ a cui corrisponde la seguente rappresentazione cartesiana $-x+y-z=0$
scrivere una rappresentazione cartesiana dello spazio $f(W)$, con $W: x-y+z=0$.
Ho provato a risolverlo nel modo seguente ma non sono sicuro se il metodo è corretto:
lo spazio delle soluzioni di $x-y+z=0$ è $(h, h+k,k)$ da cui corrisponde una base di W $((1,0,0)(0,1,1)(1,2,1))$ da cui $f(W)=((0,0,1)(1,1,0)(2,1,1))$
la rappresentazione parametrica di f(W) è $ (( x=h+k ),( y=h ),( z=k )) $ a cui corrisponde la seguente rappresentazione cartesiana $-x+y-z=0$
La base di $W$ non può essere quella.
Se $(h,h+k,k)$ è il generico vettore di $W$, con $h,k in RR$, la dimensione non può essere tre
Se $(h,h+k,k)$ è il generico vettore di $W$, con $h,k in RR$, la dimensione non può essere tre
giusto la base di W è $((1,0)(0,1))$, allora non saprei come procedere, mi potresti aiutare?
Al limite la base è $cc(B)_(W)={(1,1,0), (0,1,1)}$
Chiamiamo $u=(1,1,0)$, $v=(0,1,1)$ (sono i due vettori della base)
$f(u)=...$, $f(v)=...$
Quindi $cc(B)_(f(W))=...$
Poi trovi la rappresentazione parametrica (va bene come hai fatto prima)
Chiamiamo $u=(1,1,0)$, $v=(0,1,1)$ (sono i due vettori della base)
$f(u)=...$, $f(v)=...$
Quindi $cc(B)_(f(W))=...$
Poi trovi la rappresentazione parametrica (va bene come hai fatto prima)
mmmmm allora:
$f(u)=(1,0,1)$
$f(v)=(1,1,0)$
quindi $cc(B)_(f(W))=((1,0,1)(1,1,0))$ quindi $f(W)=((1,0,1)(1,1,0))$ a cui corrisponde la rappresentazione parametrica $ ( ( x=h+k ),( y=h ),( z=k ) ) $ giusto?
$f(u)=(1,0,1)$
$f(v)=(1,1,0)$
quindi $cc(B)_(f(W))=((1,0,1)(1,1,0))$ quindi $f(W)=((1,0,1)(1,1,0))$ a cui corrisponde la rappresentazione parametrica $ ( ( x=h+k ),( y=h ),( z=k ) ) $ giusto?
Esatto 
grazie tante 
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