Dimostrare che V=U+W e che la somma non è diretta

[universo1]

Un saluto a tutti,
sto facendo gli esercizi del libro "Geometria I" di Edoardo Sernesi a pagina 67 e al momento sto cercando di risolvere il n.4 di cui riporto la traccia qui di seguito:
"Sia V uno spazio vettoriale di dimensione 3, e sia {i,j,k} una base di V.Siano U = <i+j,i-j> e W = <j+k,j-k>.
Dimostrare che V = U+W e che la somma non è diretta"

Io non ho idea di come procedere (diversamente non avrei scritto il presente post ) ma ho in mente di paio di idee:

[*:ti2h6rur] [tex]$ V = U + W \rightarrow \forall v \in V, \exists a_1(u+ w)_1 + \dots + a_n(u + w)_n = v $[/tex], ovvero i vettori di U+W generano V e dunque dovrei verificare questo fatto;[/*:m:ti2h6rur]
[*:ti2h6rur] Il vettore nullo non può essere combinazione lineare di tutti i vettori dell'intersezione tra U e W.[/*:m:ti2h6rur][/list:u:ti2h6rur]
Avevo in testa di impostare un qualche sistema per verificare entrambe le condizioni, ma non ho ancora le idee chiare su come fare ciò.

[Bokonon]

Usa la formula di Grassman.
Che dimensioni hanno U e W? E la loro intersezione?

[universo1]

Grassman dice che U+W è somma diretta di U e W se, e solo se, dim(U+W) = dim(U) + dim (W)
dunque devo provare che per l'esercizio n. 4 ciò non vale. Devo trovare le basi di U+W, U e W per poter confrontare le dimensioni.

[Bokonon]

Esatto.
L'esercizio chiede $ V=Uo+W $?
Se fosse così allora varrebbe $ dim(V)=dim(U+V)=dim(U)+dim(W)$
Ovvero $dim(U+V)=dim(U)+dim(W)-dim(UnnW)$ dove $dim(UnnW)=dim({0})=0$
Ma è così?
Trova quindi $dim(U)$, $dim(W)$ e $dim(UnnW)$

[universo1]

Non saprei come trovare le dimensioni degli spazi. Il problema consiste nel fatto che i vettori i, j, k sono generici, infatti con esercizi del tipo "Siano (1,2,3),(4,5,6),(7,8,9) dei vettori in W, verificare se sono linearmente indipendenti e se generano lo spazio etc etc" non ho difficoltà perché pongo [tex]$a(1,2,3)+b(4,5,6)+c(7,8,9)=0$[/tex] e mi ricavo un sistema in cui le incognite sono a,b,c. Qui invece non mi riesce.

[Bokonon]

"universo":Non saprei come trovare le dimensioni degli spazi. Il problema consiste nel fatto che i vettori i, j, k sono generici

Non sono generici...sono i vettori della base canonica $ hat(i) =<1,0,0> $ , $hat(j) =<0,1,0>$ e $hat(k) =<0,0,1>$
Se ti trovi comodo a sostituirli fallo.
Ma anche se fossero stati generici basta chiedersi se esiste un $alpha$ tale che $alpha[hat(i)+hat(j)]=hat(i)-hat(j)$
La risposta è no, quindi U ha una base di due vettori l.i., ergo ha $dim(U)=2$.
Stesso discorso per W.
E stesso discorso ancora e troverai che:
$1*[hat(i)+hat(j)]-1*[hat(i)-hat(j)]-1*[hat(j)+hat(k)]=hat(j)-hat(k)$
Quindi $dim(UuuW)=3$ e $dim(UnnW)=1$ perchè l'unione ha tre vettori l.i. e quindi l'intersezione solo uno.

[universo1]

Ti ringrazio Bokonon e mi scuso anche per il ritardo nel risponderti.
Nel frattempo ho rivisto le nozioni del capitolo e mi sono accorto che ho tralasciato proposizioni e definizioni molto importanti.
Dopo il ripasso ho svolto degli esercizi sulla somma diretta e sono riuscito a completarli. La confusione, probabilmente, deve essere stata generata dal mancato uso (o mancata comprensione) della notazione di base canonica.

Purtroppo ho fatto l'errore di non seguire e per la fretta cerco di saltare il più possibile; così facendo non solo ho saltato svariate informazioni utili, ma ho concluso la sessione senza dare alcun esame, yuppie!

[Bokonon]

Prego.
Ti rifarai alla prossima sessione

[vict85]

Non è necessario usare nessun teorema particolare, e non ho capito perché tu abbia bisogno di qualcosa di canonico.

Siccome \(U = \langle \mathbf{i}+\mathbf{j}, \mathbf{i}-\mathbf{j}\rangle \) si ha che \(\displaystyle \mathbf{i} = \frac{(\mathbf{i}+\mathbf{j}) + (\mathbf{i}-\mathbf{j})}{2} \in U \) e \(\displaystyle \mathbf{j} = \frac{(\mathbf{i}+\mathbf{j}) - (\mathbf{i}-\mathbf{j})}{2} \in U \).
Similmente, siccome \(V = \langle \mathbf{j}+\mathbf{k}, \mathbf{j}-\mathbf{k}\rangle \) si ha che \(\displaystyle \mathbf{j} = \frac{(\mathbf{j}+\mathbf{k}) + (\mathbf{j}-\mathbf{k})}{2} \in V \) e \(\displaystyle \mathbf{k} = \frac{(\mathbf{j}+\mathbf{k}) - (\mathbf{j}-\mathbf{k})}{2} \in V \).

Pertanto \(\displaystyle \{\mathbf{i}, \mathbf{j}, \mathbf{k}\} \subset U+V \) e \(\displaystyle \mathbf{j} \in U\cap V \). Quindi la somma non è diretta perché l'intersezione non è vuota e la somma genera l'intero spazio perché contiene una sua base.