Dimostrare che un endomorfismo è un isomorfismo...come?!
Salve!
Sono alle prese con un esercizio che non riesco a risolvere, o meglio ancora non riesco ad iniziare...
" Sia V uno spazio vettoriale di dimensione finita e sia N: V -> V un endomorfismo tale che esiste un n $in$ N tale che $N^n$=0
-Dimostrare che T=Id-N è un isomorfismo
-Calcolare $T^-1$ "
Per quanto riguarda la prima richiesta...da dove inizio?! Il mio libro di Geometria 1 (il Sernesi) dice solo che un isomorfismo è una applicazione lineare biunivoca...
Grazie in anticipo per l'aiuto!
Sono alle prese con un esercizio che non riesco a risolvere, o meglio ancora non riesco ad iniziare...
" Sia V uno spazio vettoriale di dimensione finita e sia N: V -> V un endomorfismo tale che esiste un n $in$ N tale che $N^n$=0
-Dimostrare che T=Id-N è un isomorfismo
-Calcolare $T^-1$ "
Per quanto riguarda la prima richiesta...da dove inizio?! Il mio libro di Geometria 1 (il Sernesi) dice solo che un isomorfismo è una applicazione lineare biunivoca...
Grazie in anticipo per l'aiuto!
Risposte
"ImpaButty":
Salve!
Sono alle prese con un esercizio che non riesco a risolvere, o meglio ancora non riesco ad iniziare...
" Sia V uno spazio vettoriale di dimensione finita e sia N: V -> V un endomorfismo tale che esiste un n $in$ N tale che $N^n$=0
-Dimostrare che T=Id-N è un isomorfismo
-Calcolare $T^-1$ "
Per quanto riguarda la prima richiesta...da dove inizio?! Il mio libro di Geometria 1 (il Sernesi) dice solo che un isomorfismo è una applicazione lineare biunivoca...
Grazie in anticipo per l'aiuto!
dato che sei in dimensione finita per mostrare che T è un isomorfismo ti basta mostrare che è iniettivo, cioè che se $Tv=0$ allora $v=0$.
Per farlo scrivi $Tv=0$ e sostituisci a T la sua espressione e guarda un po' cosa ti viene.
Poi ricorda che $N^n=0$ e quindi $N^nv=0!=v$.
Perciò ....
prova un po' tu, poi se non riesci a concludere scrivi qui fin dove sei arrivato e ti diamo noi una mano per concludere
Suggerimento per il secondo punto:
$I=I-N^n=(I-N)(....)$
Completa e avrai risolto!
$I=I-N^n=(I-N)(....)$
Completa e avrai risolto!
misanino: grazie per le indicazioni, ma come faccio in generale a vedere se un endomorfismo è un isomorfismo?
cirasa: non ho capito il tuo suggerimento...come faccio attraverso quella scomposizione ad arrivare a $T^-1$ ?
cirasa: non ho capito il tuo suggerimento...come faccio attraverso quella scomposizione ad arrivare a $T^-1$ ?
Supponiamo che tu sappia che $T=I-N$ è invertibile.
Componendo a sinistra ambo i membri di $I=(I-N)(....)$ con $T^{-1}=(I-N)^{-1}$, ottieni....
Spero di averti aiutato, se ci sono problemi dimmelo e sarò più esplicito.
Componendo a sinistra ambo i membri di $I=(I-N)(....)$ con $T^{-1}=(I-N)^{-1}$, ottieni....
Spero di averti aiutato, se ci sono problemi dimmelo e sarò più esplicito.
...continuo a non capire!!! 
Visto che $N^n=0$ per ipotesi, si ha che
$I=I-N^n=(I-N)(I+N+N^2+...+N^{n-1})$
Componendo a sinistra con $T^{-1}=(I-N)^{-1}$ (stiamo supponendo che tu abbia già provato la prima parte dell'esercizio, cioè già sai che $T$ è invertibile, perciò esiste $T^{-1}$), si ha che
$T^{-1}=T^{-1}(I-N)(I+N+N^2+...+N^{n-1})=I+N+N^2+...+N^{n-1}$
E' più chiaro ora?
L'applicazione inversa di $T$ è $T^{-1}=I+N+N^2+...+N^{n-1}$.
Quindi ora ti resta da risolvere la prima parte dell'esercizio.
Ora devo andare, se ci sono problemi domani ti darò la mia idea di risoluzione.
Ciao!:D
$I=I-N^n=(I-N)(I+N+N^2+...+N^{n-1})$
Componendo a sinistra con $T^{-1}=(I-N)^{-1}$ (stiamo supponendo che tu abbia già provato la prima parte dell'esercizio, cioè già sai che $T$ è invertibile, perciò esiste $T^{-1}$), si ha che
$T^{-1}=T^{-1}(I-N)(I+N+N^2+...+N^{n-1})=I+N+N^2+...+N^{n-1}$
E' più chiaro ora?
L'applicazione inversa di $T$ è $T^{-1}=I+N+N^2+...+N^{n-1}$.
Quindi ora ti resta da risolvere la prima parte dell'esercizio.
Ora devo andare, se ci sono problemi domani ti darò la mia idea di risoluzione.
Ciao!:D
"ImpaButty":
misanino: grazie per le indicazioni, ma come faccio in generale a vedere se un endomorfismo è un isomorfismo?
Nella maggior parte dei casi avrai spazi di dimensione finita e quindi ti basterà mostrare che è iniettivo cioè che, detto A il tuo endomorfismo, hai che Av=0 se e solo se v=0
Nel caso invece che lo spazio sia a dimensione infinita allora devi mostrare che è iniettivo, ma anche che è suriettivo, cioè che ogni elemento $v\inV$ ha una controimmagine
Comunque in questo caso specifico sei riuscito a fare il primo punto?
Mhh...non penso di esserci riuscita
Allora, devo dimostrare che Tv=0
so che T= Id-N quindi (Id-N)v=0
so inoltre che $N^n$=0 quindi (Id-$N^n$)=1 qundi per ottenere (Id-$N^n$)v=0 v deve essere uguale a 0.
Che dici?
Allora, devo dimostrare che Tv=0
so che T= Id-N quindi (Id-N)v=0
so inoltre che $N^n$=0 quindi (Id-$N^n$)=1 qundi per ottenere (Id-$N^n$)v=0 v deve essere uguale a 0.
Che dici?
Non devi mica dimostrare che l'identità è invertibile! devi dimostrare che $(I - N)(v)=0 <->v=0$, non che $I(v) = 0$!
Supponi che esista un vettore $v$ non nullo appartenente al $Ker(T)$, allora avrai che $T(v) = 0$, ma questo che condizione porta su N? E perché non può andare?
Supponi che esista un vettore $v$ non nullo appartenente al $Ker(T)$, allora avrai che $T(v) = 0$, ma questo che condizione porta su N? E perché non può andare?
"ImpaButty":
Mhh...non penso di esserci riuscita
Allora, devo dimostrare che Tv=0
so che T= Id-N quindi (Id-N)v=0
so inoltre che $N^n$=0 quindi (Id-$N^n$)=1 qundi per ottenere (Id-$N^n$)v=0 v deve essere uguale a 0.
Che dici?
Non devi dimostrare che Tv=0. Che senso ha quello che dici? Allora T sarebbe 0 no!?
Devi dimostrare che T è iniettivo cioè:
Se $Tv=0$ allora $v=0$
Questo devi dimostrare!
Ora $Tv=(id-N)v=id(v)-Nv=v-Nv$
Ora se $Tv=0$ allora $v-Nv=0$ allora $Nv=v$
Quindi $N^2v=N Nv=Nv=v$
Allo stesso modo $N^3v=v$, $N^4v=v$ .... $N^nv=v$
Ma $N^n=0$ e quindi $N^nv=0$. Perciò $v=0$ e hai finito
E' chiaro ora?
Tra l'altro in generale vale che se un endomorfismo è nilpotente allora ha come autovalore solo lo 0. E vale anche il viceversa.
Non ho letto tutto il post, ma penso valga la pena notare che:
più in generale vale la seguente.
Dato $A$ un anello unitario, $x$ un elemento nilpotente, allora $1+x$ è invertibile.
La dimostrazione è esattamente quella utilizzata da cirasa, dato che lui difatto utilizza solo proprietà di essere un anello unitario dello spazio delle matrici.
Corollario: dato $u$ un elemento unitario, anche $u+x$ è unitario (la correzione nilpotente di un elemento unitario è unitaria).
Sono dell'idea che astrarre a volte serve a rendere il concetto, le forze in gioco, più evidenti. Questo penso sia uno di questi casi.
più in generale vale la seguente.
Dato $A$ un anello unitario, $x$ un elemento nilpotente, allora $1+x$ è invertibile.
La dimostrazione è esattamente quella utilizzata da cirasa, dato che lui difatto utilizza solo proprietà di essere un anello unitario dello spazio delle matrici.
Corollario: dato $u$ un elemento unitario, anche $u+x$ è unitario (la correzione nilpotente di un elemento unitario è unitaria).
Sono dell'idea che astrarre a volte serve a rendere il concetto, le forze in gioco, più evidenti. Questo penso sia uno di questi casi.
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