Dimostrare che tre matrici sono linearmente indipendenti??
ho 3 matrici (2x3) e l'esercizio mi chiede, appunto, di dimostrarne la lineare indipendenza..
Non so proprio da dove cominciare... coi vettore pure pure, ma le matrici.. O_o
ps: ecco le matrici, se serve:
A=
1 1 1
2 0 1
B=
1 1 0
-1 0 1
C=
2 -2 1
1 0 0
Grazie
Non so proprio da dove cominciare... coi vettore pure pure, ma le matrici.. O_o
ps: ecco le matrici, se serve:
A=
1 1 1
2 0 1
B=
1 1 0
-1 0 1
C=
2 -2 1
1 0 0
Grazie
Risposte
Ciao 
Le matrici $2 times 3$ a entrate reali formano uno spazio vettoriale (su $RR$) di dimensione 6. Scegli una base di tale spazio e scrivi quella matrici come combinazione lineare degli elementi della base scelta (insomma, le scrivi in componenti). A quel punto, il problema diventa dimostrare l'indipendenza lineare di 3 vettori (quelli che contengono le componenti delle matrici rispetto alla base) che hanno 6 componenti ciascuno.
Ok?
Le matrici $2 times 3$ a entrate reali formano uno spazio vettoriale (su $RR$) di dimensione 6. Scegli una base di tale spazio e scrivi quella matrici come combinazione lineare degli elementi della base scelta (insomma, le scrivi in componenti). A quel punto, il problema diventa dimostrare l'indipendenza lineare di 3 vettori (quelli che contengono le componenti delle matrici rispetto alla base) che hanno 6 componenti ciascuno.
Ok?
No, non ci sono proprio.
passaggio per passaggio?? (chiedo troppo?)
Qual è la base dello spazio di dimensione 6?? mi viene in mente solo la base canonica, ma boh.. che ci faccio?
passaggio per passaggio?? (chiedo troppo?)
Qual è la base dello spazio di dimensione 6?? mi viene in mente solo la base canonica, ma boh.. che ci faccio?
Non te lo posso fare io, mi dispiace, qui le cose non funzionano così
Dai, con calma, io ti posso dare una mano. Allora, dove ti perdi? Che le matrici $ntimesm$ formino uno spazio vettoriale lo sai? Sai che cos'è una base di uno spazio?
Se sì, andiamo avanti così, altrimenti cambiamo strada.
Dai, con calma, io ti posso dare una mano. Allora, dove ti perdi? Che le matrici $ntimesm$ formino uno spazio vettoriale lo sai? Sai che cos'è una base di uno spazio?
Se sì, andiamo avanti così, altrimenti cambiamo strada.
Una base è un sistema di generatori linearmente indipendenti.. credo.
Ma sono fermo qui.
Ma sono fermo qui.
Scusate ragazzi:
@Paolo: Secondo me non ti conviene seguire questa strada. Se il lettore non è navigato si confonderà sicuramente. Meglio verificare direttamente la definizione, invece.
@Paolo: Secondo me non ti conviene seguire questa strada. Se il lettore non è navigato si confonderà sicuramente. Meglio verificare direttamente la definizione, invece.
Va bene, allora facciamo così: lascia perdere, dimentica tutto quello che ci siamo detti.
Ripartiamo da qui: hai le tre matrici, ok? Per un attimo, guardale come se fossero "vettori", di cui devi provare la lineare indipendenza.
Se fossero vettori, scriveresti $av_1+bv_2+cv_3=0$ e andresti a verificare che deve essere $a=b=c=0$ (perchè siano l.i.). Ok?
Bene, facciamo la stessa cosa: dette $A,B,C,$ le tre matrici, scrivi la loro combinazione lineare generica $xA+yB+zC$ (immagino tu sappia moltiplicare una matrice per un numero - $x,y,z$ sono numeri! - e che tu sappia sommare matrici).
A questo punto, se fai i conti, trovi che $xA+yB+zC$ è una matrice. Ti chiedi, allora: quando questa matrice è la matrice nulla (quella che ha $0$ dovunque)? Se trovi che $xA+yB+zC="matrice nulla" iff x=y=z=0$ sei a posto, cioè hai verificato che le tre matrici sono l.i.
Va meglio ora?
P.S: due parole, di scusa nei tuoi confronti e di spiegazione anche a dissonance. Mi scuso se sono partito in quarta, è tipico del principiante usare cannoni per uccidere zanzare, e me ne scuso. Specie in questo periodo, poi, sono particolarmente bravo nell'incasinare le cose di più di quanto già non lo siano
Tuttavia, sottolineo che la mia forma mentis, in questo ambito, deriva dal corso di Geometria I dello scorso anno, corso in cui non ci hanno mai dato una definizione di matrici/polinomi etc linearmente indipendenti: per me, era naturale passare alle componenti, insomma mi è stato insegnato così.
Mi scuso ancora.
Ripartiamo da qui: hai le tre matrici, ok? Per un attimo, guardale come se fossero "vettori", di cui devi provare la lineare indipendenza.
Se fossero vettori, scriveresti $av_1+bv_2+cv_3=0$ e andresti a verificare che deve essere $a=b=c=0$ (perchè siano l.i.). Ok?
Bene, facciamo la stessa cosa: dette $A,B,C,$ le tre matrici, scrivi la loro combinazione lineare generica $xA+yB+zC$ (immagino tu sappia moltiplicare una matrice per un numero - $x,y,z$ sono numeri! - e che tu sappia sommare matrici).
A questo punto, se fai i conti, trovi che $xA+yB+zC$ è una matrice. Ti chiedi, allora: quando questa matrice è la matrice nulla (quella che ha $0$ dovunque)? Se trovi che $xA+yB+zC="matrice nulla" iff x=y=z=0$ sei a posto, cioè hai verificato che le tre matrici sono l.i.
Va meglio ora?
P.S: due parole, di scusa nei tuoi confronti e di spiegazione anche a dissonance. Mi scuso se sono partito in quarta, è tipico del principiante usare cannoni per uccidere zanzare, e me ne scuso. Specie in questo periodo, poi, sono particolarmente bravo nell'incasinare le cose di più di quanto già non lo siano
Tuttavia, sottolineo che la mia forma mentis, in questo ambito, deriva dal corso di Geometria I dello scorso anno, corso in cui non ci hanno mai dato una definizione di matrici/polinomi etc linearmente indipendenti: per me, era naturale passare alle componenti, insomma mi è stato insegnato così.
Mi scuso ancora.
Ok, così è molto più chiaro.
Ora devo verificare se degli insieme di vettori in R^3 generano un sottospazio vettoriale..
Io so che per verificarlo devo verificare che la somma di due vettori appartenenti all'insieme deve appartenere ancora all'insieme;
e che il prodotto di uno di quei vettori per uno scalare (di R^3) deve appartenere ancora all'insieme.. MA, nello specifico, cosa faccio??
Ho questo insieme di vettori (che, a dirla tutta, non so nemmeno come si "legge"..):
{ (x,y,z): x^2 + y^2 + z^2 = 1 }
Che devo fare, da un punto di vista algebrico??
Ora devo verificare se degli insieme di vettori in R^3 generano un sottospazio vettoriale..
Io so che per verificarlo devo verificare che la somma di due vettori appartenenti all'insieme deve appartenere ancora all'insieme;
e che il prodotto di uno di quei vettori per uno scalare (di R^3) deve appartenere ancora all'insieme.. MA, nello specifico, cosa faccio??
Ho questo insieme di vettori (che, a dirla tutta, non so nemmeno come si "legge"..):
{ (x,y,z): x^2 + y^2 + z^2 = 1 }
Che devo fare, da un punto di vista algebrico??
"Vegetabbo":
Ok, così è molto più chiaro.
Ora devo verificare se degli insieme di vettori in R^3 generano un sottospazio vettoriale..
Io so che per verificarlo devo verificare che la somma di due vettori appartenenti all'insieme deve appartenere ancora all'insieme;
e che il prodotto di uno di quei vettori per uno scalare (di R^3) deve appartenere ancora all'insieme..
... e che il vettore nullo deve appartenere all'insieme.
Prova un po' a controllare se il vettore $(0,0,0)$ appartiene all'insieme che hai scritto (insieme che si legge: "insieme dei vettori $(x,y,z) in RR^3$ tali che $x^2+y^2+z^2=1$").
Ti ringrazio molto, e ti comunico che comunque ho trovato anche questa discussione che fa proprio al caso mio..
https://www.matematicamente.it/forum/dom ... vettoriale
https://www.matematicamente.it/forum/dom ... vettoriale
Boh.. non capisco proprio che devo fare.. cosa ci faccio con quell' 1 al secondo membro?.. come devo "interpretarlo" ??
Per ora ho solo verificato che il vettore nullo non appartiene all'insieme comunque presi x = y = z = 0 non risulta verificato che 0 + 0 + 0 = 1.
Quindi fine dell'esercizio.. giusto??
però mi sorge una domanda:
Il mio libro di testo Geometria 1, di Edoardo Sernesi (seconda edizione).. riporta questo a pag. 51:
Sia V uno spazio vettoriale su K.
Definizione. Un sottoinsieme non vuoto W di V si dice sottospazio vettoriale di V se:
1) per ogni w1, w2 € W, la somma w1+w2 appartiene a W.
2) per ogni w € W e per ogni c € K, il prodotto c*w appartiene a W.
....nessun accenno a questa cosa del vettore nullo....
Può essere che non lo dice perché SE quelle due condizioni sono verificata ALLORA automaticamente è verificato anche il fatto che il vettore nullo appartiene all'insieme?
ps: c'è qualcosa di "grafico" che aiuti la visualizzazione mentale di quello che succede?..
Quindi fine dell'esercizio.. giusto??
però mi sorge una domanda:
Il mio libro di testo Geometria 1, di Edoardo Sernesi (seconda edizione).. riporta questo a pag. 51:
Sia V uno spazio vettoriale su K.
Definizione. Un sottoinsieme non vuoto W di V si dice sottospazio vettoriale di V se:
1) per ogni w1, w2 € W, la somma w1+w2 appartiene a W.
2) per ogni w € W e per ogni c € K, il prodotto c*w appartiene a W.
....nessun accenno a questa cosa del vettore nullo....
Può essere che non lo dice perché SE quelle due condizioni sono verificata ALLORA automaticamente è verificato anche il fatto che il vettore nullo appartiene all'insieme?
ps: c'è qualcosa di "grafico" che aiuti la visualizzazione mentale di quello che succede?..
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