Dimostrare che se il det di una matrice è uguale a 0...

[bart393]

Ciao,
ho un dubbio su questa domanda:

Come si può dimostrare il teorema che afferma:

Se il determinante di una matrice è uguale a 0 i vettori sono Dipendenti
Se il determinante della matrice è diverso da 0 i vettori son INDIPENDENTI

=)

Grazie

[Matthia2]

(Ho modificato il mio messaggio precedente perchè credo sia meglio darti dei suggerimenti piuttosto che la soluzione completa)

Per cominciare, ti consiglio di formalizzare meglio le ipotesi, perchè prima di procedere devi capire bene cosa vuoi dimostrare.
Dati n vettori di uno spazio V di dimensione n, si considerino le loro coordinate rispetto ad una qualunque base. Giustapponendo le colonne così ottenute (in ciascuna colonna ci sono le coordinate di uno dei vettori di partenza) si ottiene una matrice quadrata. Si dimostri ora che i vettori sono indipendenti se e solo se il suo determinante è non nullo.

(dimostrare il se e solo se equivale a dimostrare i due punti da te richiesti)

Ora, la dimostrazione chiama in causa un determinante e "discute" se è nullo o meno. Uno passaggio mentale "standard" che è necessario fare è quello che collega il determinante di una matrice all'invertibilità della funzione rappresentata da quella matrice.
Dopodichè sarà utile osservare che un endomorfismo è invertibile se e solo se manda una base in una base. Il concetto di base è strettamente connesso al concetto di indipendenza, per concludere devi solo ricordare "com'è fatta" una matrice che rappresenta un'applicazione lineare...