Dimostrare che R+R non è omeomorfo a R

[la.spina.simone]

Ciao ragazzi... Devo dimostrare che gli assi cartesiani, ovvero l'insieme $A=\{(x,0)\inR^2\}\cup\{(0,y)\inR^2\}$ non è omeomorfo a $R$.
Quale invariante topologico posso usare?

[_prime_number]

Facile: le componenti connesse locali. Sono un invariante degli omeomorfismi e un ottimo classico trucco per questo tipo di esercizi. In altre parole, supponi di levare il punto $(0,0)$ da $A$ e quindi in modo corrispondente un punto anche da $\mathbb{R}$. Vicino a $(0,0)$ otterrai dunque 4 componenti connesse (i "rami" della croce "forata") mentre sull'asse solo $2$, quindi non può esserci un omemorfismo tra i due.

Ecco qui una fonte se vuoi conferme "ufficiali" http://planetmath.org/HomeomorphismsPre ... nents.html

Paola

[la.spina.simone]

Ok, chiarissimo, ma chi mi dice che posso togliere un punto?

[regim]

Togliere un punto, nel senso di considerare la funzione precedente restringendone il dominio.

[la.spina.simone]

Scusate ma voglio capire se ho capito:

Il ragionamento è
supponiamo che esiste l'omeomorfismo
togliamo un punto da R, osserviamo che qualunque sia il punto otteniamo 2 componenti connesse
quindi il dominio meno un punto deve essere omeomorfo all'immagine meno l'immagine del punto, ma se l'immagine del punto è l'origine ottengo 4 componenti.
Quindi assurdo, quindi non esiste l'omeomorfismo.

Giusto?

[regim]

Quel "ma se l'immagine del punto è l'origine...", e se non è l'origine? hai anche lì 2 componenti connesse, e sei punto e a capo.
Il dominio da usare è l'altro, come spiegato da prime_number. E perchè allora non può esistere questo omeomorfismo? perchè fermo restando la continuità, hai che una semiretta dovrebbe contenere almeno 2 componenti connesse, ma la semiretta è connessa, e quindi ciò è assurdo.

PS
Beh comunque anche il tuo ragionamento funziona perchè cmq c'è sempre un punto della retta a cui corrisponde l'origine.Anzi ripensandoci viene anche più facile perchè avresti due componente connesse che possono essere ospitate da solo due, le altre rimarrebbero al palo