Dimostrare che R con topologia cofinita non è 1-numerabile
Ciao a tutti!
Esercizio:
Dimostrare che $(R,\chi)$ non è 1-numerabile (con $\chi$ indicante la topologia cofinita).
Gli aperti della topologia sono: ${R, \emptyset}\cap {X\subset R:X " finito"}$
$\forall x\inR$ sia $U(x)$ la famiglia degli intorni di $x$ ovvero l'insieme ${U\subset R: \exists A\in\chi " t.c. " x\in A\subset U}$
Poichè ${x}\in\chi$ allora $U(x)={U\subset R:x\in U}$
quindi in particolare ${x}\in U(x)$ e inoltre ${{x}}$ è sistema fondamentale di intorni per $x$.
Qui nascono i miei dubbi:
Se considero l'insieme ${{x}}\cup{(x+a,x-a):a\in Z_+}$ trovo che è numerabile, è contenuto in $U(x)$ e per ogni elemento $U$ di $U(x)$ trovo che ${x}\subset U$ quindi tale insieme è sistema fondamentale di intorni per $x$. Quindi dovrei concludere che $(R,\chi)$ è 1-numerabile... Aiutooooo!!!
Esercizio:
Dimostrare che $(R,\chi)$ non è 1-numerabile (con $\chi$ indicante la topologia cofinita).
Gli aperti della topologia sono: ${R, \emptyset}\cap {X\subset R:X " finito"}$
$\forall x\inR$ sia $U(x)$ la famiglia degli intorni di $x$ ovvero l'insieme ${U\subset R: \exists A\in\chi " t.c. " x\in A\subset U}$
Poichè ${x}\in\chi$ allora $U(x)={U\subset R:x\in U}$
quindi in particolare ${x}\in U(x)$ e inoltre ${{x}}$ è sistema fondamentale di intorni per $x$.
Qui nascono i miei dubbi:
Se considero l'insieme ${{x}}\cup{(x+a,x-a):a\in Z_+}$ trovo che è numerabile, è contenuto in $U(x)$ e per ogni elemento $U$ di $U(x)$ trovo che ${x}\subset U$ quindi tale insieme è sistema fondamentale di intorni per $x$. Quindi dovrei concludere che $(R,\chi)$ è 1-numerabile... Aiutooooo!!!
Risposte
Gli aperti della topologia sono: {R,∅}∩{X⊂R:X finito}.
No. Gli aperti nella topologia cofinita sono \(\varnothing\) e i complementari degli insiemi finiti.
Ah. Ti ringrazio molto, evidentemente ho commesso un errore nel prendere appunti (lo stesso errore ce l'ho nella definizione della top. conumerabile), ci avrei sbattuto la testa per un bel po' altrimenti!
Potresti addirittura verificare che \(\tau = \{ \mathbb{R} \} \cup \{S \subset \mathbb{R}\,\colon S \text{ è finito} \}\) non è una topologia su \(\mathbb{R}\).
Si certo, ma avendo la definizione sbagliata negli appunti ho dato per scontato che lo fosse...

