Dimostrare che R con topologia cofinita non è 1-numerabile

[la.spina.simone]

Ciao a tutti!
Esercizio:
Dimostrare che $(R,\chi)$ non è 1-numerabile (con $\chi$ indicante la topologia cofinita).

Gli aperti della topologia sono: ${R, \emptyset}\cap {X\subset R:X " finito"}$
$\forall x\inR$ sia $U(x)$ la famiglia degli intorni di $x$ ovvero l'insieme ${U\subset R: \exists A\in\chi " t.c. " x\in A\subset U}$
Poichè ${x}\in\chi$ allora $U(x)={U\subset R:x\in U}$
quindi in particolare ${x}\in U(x)$ e inoltre ${{x}}$ è sistema fondamentale di intorni per $x$.

Qui nascono i miei dubbi:
Se considero l'insieme ${{x}}\cup{(x+a,x-a):a\in Z_+}$ trovo che è numerabile, è contenuto in $U(x)$ e per ogni elemento $U$ di $U(x)$ trovo che ${x}\subset U$ quindi tale insieme è sistema fondamentale di intorni per $x$. Quindi dovrei concludere che $(R,\chi)$ è 1-numerabile... Aiutooooo!!!

[elvis3]

Gli aperti della topologia sono: {R,∅}∩{X⊂R:X finito}.

No. Gli aperti nella topologia cofinita sono \(\varnothing\) e i complementari degli insiemi finiti.

[la.spina.simone]

Ah. Ti ringrazio molto, evidentemente ho commesso un errore nel prendere appunti (lo stesso errore ce l'ho nella definizione della top. conumerabile), ci avrei sbattuto la testa per un bel po' altrimenti!

[elvis3]

Potresti addirittura verificare che \(\tau = \{ \mathbb{R} \} \cup \{S \subset \mathbb{R}\,\colon S \text{ è finito} \}\) non è una topologia su \(\mathbb{R}\).

[la.spina.simone]

Si certo, ma avendo la definizione sbagliata negli appunti ho dato per scontato che lo fosse...