Dimostrare che prodotto di matrici diagonali è diagonale?

[Veijo]

Ciao a tutti. Perdonate se la domanda è sciocca, ma sto preparando questo esame rapidamente e non ho mai trattato questo argomento in tutta la mia carriera di studente (scarso in matematica).

In particolare non capisco bene cosa possa significare qui "dimostrare" il postulato date le condizioni. Vi propongo il problema, spero potrete aiutarmi.

A e B sono due matrici diagonali con le stesse dimensioni. Dimostrate che il prodotto AB è ancora una matrice diagonale. In che modo si calcola rapidamente il prodotto AB in questo caso?

Grazie per l'eventuale aiuto

[marco2132k]

Devi formalizzare che cosa significa "diagonale". Una matrice quadrata \( A = (a_{ij})_{\substack{1\leqq i\leqq n\\1\leqq j\leqq n}} \) è diagonale se per ogni \( i\neq j \) hai che \( a_{ij} = 0 \). Allora, se \( A = (a_{ij})_{\substack{1\leqq i\leqq n\\1\leqq j\leqq n}} \) e \( B = (b_{ij})_{\substack{1\leqq p\leqq n\\1\leqq q\leqq n}} \) sono diagonali hai che anche \( AB = (c_{iq})_{\substack{1\leqq i\leqq n\\1\leqq j\leqq n}}\) è diagonale, perché
\[
c_{iq} = \sum_{k = 1}^n a_{ik}b_{jq} = \begin{cases}
a_{ii}b_{qq} & \text{se \( i = q \)}\\
0 & \text{se \( i\neq q \)}
\end{cases}
\] per ogni \( 1\leqq i\leqq n \) e \( 1\leqq q\leqq n \).

Alternativamente, puoi dire che cos'è un "endomorfismo diagonale" di spazi vettoriali, e dimostrare che la composizione di endo diagonali è diagonale.

Nota che la dimostrazione del fatto che \( AB \) diagonale se \( A \) e \( B \) diagonali ti dice anche come si calcola \( AB \).

[Veijo]

Grazie!