Dimostrare che n vettori sono linerarmente indipendenti
Salve ragazzi! Ho un piccolo problemino con un esercizio! Cioé, no so da che parte prenderlo!
La domanda 1 è: i vettori 1, x, x^2, x^3,...x^n con n numero naturale nello spaziovettoriale delle funzioni che vanno da R a R linearmente indipendenti?
Io credo proprio di si, però non ho idea di come dimostrarlo!
La domanda 2 è: completare x^3-x, x^2-x per ottenere una base per lo spazio vettoriale dei polinomi reali di grado minore uguale a 3!
Se mi sapete aiutare....
Grazie!
La domanda 1 è: i vettori 1, x, x^2, x^3,...x^n con n numero naturale nello spaziovettoriale delle funzioni che vanno da R a R linearmente indipendenti?
Io credo proprio di si, però non ho idea di come dimostrarlo!
La domanda 2 è: completare x^3-x, x^2-x per ottenere una base per lo spazio vettoriale dei polinomi reali di grado minore uguale a 3!
Se mi sapete aiutare....
Grazie!
Risposte
Fai una combinazione lineare dei vettori dati generica, e imponi che sia il vettore nullo, ovvero che sia la funzione identicamente nulla. Essendo la combinazione lineare un polinomio di grado $n$ del tutto generico, esso è identicamente nullo se e solo se.....
"Luca.Lussardi":
Fai una combinazione lineare dei vettori dati generica, e imponi che sia il vettore nullo, ovvero che sia la funzione identicamente nulla. Essendo la combinazione lineare un polinomio di grado $n$ del tutto generico, esso è identicamente nullo se e solo se.....
Se e solo se i coefficienti del polinomio con i vettori sono nulli!
Ci stavo giusto giusto ragionando adesso, però non sapevo bene se era sufficiente come dimostrazione, dato che qui tutte le volte mi chiedono sempre di dimostrare di più ehehe.
Per la domanda due avrei pensato ad una soluzione però non sono sicuro che è giusta!
Siccome la dimensione dello spazio vettoriale dei polinomi di grado minore o uguale a 3 è 4 (che non so come dimostrare), mi servono altri due vettori linearmente indipendenti che potrebbero essere x e 1
Potrebbero sì, basta verificare che è una base, ovvero che sono lin. indipendenti, visto che come dicevi la dimensione è 4: basta prendere come base $1,x,x^2,x^3$. Questi vettori sono lin. indip. e generano tutti i polinomi di grado minore o uguale a 3.
"Luca.Lussardi":
Potrebbero sì, basta verificare che è una base, ovvero che sono lin. indipendenti, visto che come dicevi la dimensione è 4: basta prendere come base $1,x,x^2,x^3$. Questi vettori sono lin. indip. e generano tutti i polinomi di grado minore o uguale a 3.
Si infatti, quella se non sbaglio di solito è la base "canonica" per i polinomi, ma nell'esercizio mi diceva appunto di completare $x^3-x$ e $x^2-x$ affinche formi una base!
Ma formalmente come si potrebbe spiegare che la dimensione dello spazio vettoriale di grado minore o uguale a 3 è 4?
Ma scusa, sta scritto di sopra:
"$1,x,x^2,x^3$; Questi vettori sono lin. indip. e generano tutti i polinomi di grado minore o uguale a 3."
Che poi questa non sia la base che ti chiede il problema non c'entra; questo è un insieme di generatori libero, e dunque la dimensione vale 4.
"$1,x,x^2,x^3$; Questi vettori sono lin. indip. e generano tutti i polinomi di grado minore o uguale a 3."
Che poi questa non sia la base che ti chiede il problema non c'entra; questo è un insieme di generatori libero, e dunque la dimensione vale 4.
"Luca.Lussardi":
Ma scusa, sta scritto di sopra:
"$1,x,x^2,x^3$; Questi vettori sono lin. indip. e generano tutti i polinomi di grado minore o uguale a 3."
Che poi questa non sia la base che ti chiede il problema non c'entra; questo è un insieme di generatori libero, e dunque la dimensione vale 4.
Ok, ho capito! Dimostro che con quella base, posso generare qualunque polinomio, così, dimostro che la dimensione è 4!
Ti ringrazio della pazienza e dell'aiuto!
Sono sempre stato abituato a considerare basi ortogonali (ortonormali a dire il vero), però mi rendo conto che basta la presenza di una norma affinché la struttura metrica sia compatibile con quella di spazio vettoriale... dunque non c'è bisogno di scomodare alcun prodotto interno, che in generale non è sempre definito in uno spazio normato. Dunque per uno spazio normato non dotato di prodotto non ha senso parlare di "base ortogonale". Perché allora, quando è possibile, si sceglie come base un sistema ortogonale (e il più delle volte anche normalizzato)?
La risposta è immediata: è una comodità. Pensa ad $\RR^2$ come spazio vettoriale euclideo. La norma di un vettore $x$ è $||x||=\sqrt(x_1^2+x_2^2)$, ma $x_1$ e $x_2$ sono le componenti di $x$, non sono le coordinate di $x$, in generale. Lo sono se tu scegli la base canonica. Se scegli una base ortonormale la formula per la norma resta la stessa scritta in coordinate, per il Teorema di Pitagora.
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