Dimensione varietà e topologia varietà definita da atlante
Ciao amici! Avrei due domandine della serie tutto ciò che avreste voluto sapere e non avete mai osato chiedere...
1) Mi sembra che nella definizione di dimensione di una varietà topologica si dia per scontato che un aperto di \(\mathbb{R}^n\) e un aperto di \(\mathbb{R}^m,m\ne n\) non possano essere omeomorfi. È così... vero? Però non saprei come dimostrarlo...
2) Mi sono imbattuto in dimostrazioni che spiegano come si possa costruire un atlante differenziabile su un certo insieme per definirne una struttura di varietà differenziabile, ma senza preliminarmente mostrare che si tratti di uno spazio topologico di Hausdorff e a base numerabile, condizioni che -almeno l'autore del mio testo, il Sernesi- pone nella definizione di varietà differenziabile.
Mi chiedevo se, quando un testo descrive un atlante senza prima specificare la topologia dello spazio considerato, la topologia si sottintenda costituita dagli aperti mandati in aperti di \(\mathbb{R}^n\) dalle carte \((U_j,\varphi_j)\), cioè tutti gli $U_j$ e i loro sottoinsiemi mandati in aperti di \(\mathbb{R}^n\) dalle \(\varphi_j\), le loro intersezioni finite ed ogni tipo di loro unione... è così?
Inoltre, uno spazio topologico così definito ha quindi per conseguenza una base numerabile, vero?
\(\infty\) grazie a tutti!!!
1) Mi sembra che nella definizione di dimensione di una varietà topologica si dia per scontato che un aperto di \(\mathbb{R}^n\) e un aperto di \(\mathbb{R}^m,m\ne n\) non possano essere omeomorfi. È così... vero? Però non saprei come dimostrarlo...
2) Mi sono imbattuto in dimostrazioni che spiegano come si possa costruire un atlante differenziabile su un certo insieme per definirne una struttura di varietà differenziabile, ma senza preliminarmente mostrare che si tratti di uno spazio topologico di Hausdorff e a base numerabile, condizioni che -almeno l'autore del mio testo, il Sernesi- pone nella definizione di varietà differenziabile.
Mi chiedevo se, quando un testo descrive un atlante senza prima specificare la topologia dello spazio considerato, la topologia si sottintenda costituita dagli aperti mandati in aperti di \(\mathbb{R}^n\) dalle carte \((U_j,\varphi_j)\), cioè tutti gli $U_j$ e i loro sottoinsiemi mandati in aperti di \(\mathbb{R}^n\) dalle \(\varphi_j\), le loro intersezioni finite ed ogni tipo di loro unione... è così?
Inoltre, uno spazio topologico così definito ha quindi per conseguenza una base numerabile, vero?
\(\infty\) grazie a tutti!!!
Risposte
1) E' cosi' ma non conosco una dimostrazione facile. L'unica dimostrazione che conosco fa uso dei gruppi di omologia. Se pero' consideri varieta' differenziabili la dimostrazione e' facile (hai uno jacobiano rettangolare che dovrebbe essere invertibile).
2) Ogni carta e' un omeomorfismo. La topologia di $\RR^n$ ti da' un sistema fondamentale di intorni in ogni punto, e quindi una topologia (globale) sulla tua varieta'. Questo ti da' gratis che la topologia definita sulla varieta' e' Hausdorff. Non ti da' pero' che e' a base numerabile (se gli aperti dell'atlante sono "troppi" in effetti la topologia che definisci sulla varieta' non e' a base numerabile). Per un esempio dai un'occhiata alla Long line.
2) Ogni carta e' un omeomorfismo. La topologia di $\RR^n$ ti da' un sistema fondamentale di intorni in ogni punto, e quindi una topologia (globale) sulla tua varieta'. Questo ti da' gratis che la topologia definita sulla varieta' e' Hausdorff. Non ti da' pero' che e' a base numerabile (se gli aperti dell'atlante sono "troppi" in effetti la topologia che definisci sulla varieta' non e' a base numerabile). Per un esempio dai un'occhiata alla Long line.
Non numerabili grazie! 
L'unica dimostrazione facile di 1 è coi gruppi di omologia; un'altra dimostrazione non l'ho mai vista!
P.S.: Questo è il teorema di invarianza della dimensione di Brouwer-Lebesgue.
P.S.: Questo è il teorema di invarianza della dimensione di Brouwer-Lebesgue.
Grazie anche a te!!! La topologia algebrica deve essere pazzescamente interessante... Ne ho avuto un assaggio da un capitoletto del Sernesi sul gruppo fondamentale. Avrei una voglia di correre...
Guarda,
io di topologia algebrica alla triennale ho "studiato" solo la definizione di omotopìa; ed ora per la tesi sono obbligato a studiare cos'è l'omotopìa e i gruppi di omotopìa (almeno il I detto gruppo fondamentale), il libro di testo è Hu Homotopy Theory, e con mia somma sorpresa ho capito che non avevo visto neanche l'ombra della topologia algebrica.
Secondo me, chi vuole capire una motivazione tra le tante che hanno portato alla definizione di omotopìa ed alla introduzione del concetto di omologia, può iniziare dallo Hu; nulla togliendo ad altri testi più recenti!
P.S.: Comunque, tra i matematici degni di nota ci sono i fantastici 3: Hu Wu Tu(?
)
io di topologia algebrica alla triennale ho "studiato" solo la definizione di omotopìa; ed ora per la tesi sono obbligato a studiare cos'è l'omotopìa e i gruppi di omotopìa (almeno il I detto gruppo fondamentale), il libro di testo è Hu Homotopy Theory, e con mia somma sorpresa ho capito che non avevo visto neanche l'ombra della topologia algebrica.
Secondo me, chi vuole capire una motivazione tra le tante che hanno portato alla definizione di omotopìa ed alla introduzione del concetto di omologia, può iniziare dallo Hu; nulla togliendo ad altri testi più recenti!
P.S.: Comunque, tra i matematici degni di nota ci sono i fantastici 3: Hu Wu Tu(?
)
"j18eos":
io di topologia algebrica alla triennale ho "studiato" solo la definizione di omotopìa; ed ora per la tesi sono obbligato a studiare cos'è l'omotopìa e i gruppi di omotopìa (almeno il I detto gruppo fondamentale),
E di cosa ti lamenti?
Dovresti essere contento che il tuo relatore abbia posto rimedio!
A parte che al prof. l'ho ringraziato per avermi consigliato quel libro di Hu; io mi lamento della docente della triennale 
"j18eos":
A parte che al prof. l'ho ringraziato per avermi consigliato quel libro di Hu; io mi lamento della docente della triennale
Non so chi sia né quale esame fosse ma se durante la triennale non ti è mai stato nemmeno accennato il gruppo fondamentale hai tutta la mia comprensione nel lamentarti di quella docente.
Sono d'accordo solo per metà. Ho studiato topologia algebrica alla triennale: allora è stato probabilmente l'esame che ho preparato più volentieri e anche oggi è uno dei campi che mi piacciono di più. Però onestamente non so quanto valga la pena presentarla in maniera profonda durante una triennale. Per come la vedo io, una triennale dovrebbe essere fatta per dare una buona base generale di tutti gli argomenti, e dovrebbe evitare di fornire nozioni che poi si rilevano "superflue". E' un discorso fatto un po' con l'accetta, ma l'idea più o meno è che fare troppo alla triennale è sbagliato perché: 1. Non si hanno abbastanza conoscenze per capire davvero cosa si fa e quindi si dura un sacco di fatica, mentre con qualche base in più le cose sarebbero più semplici. 2. Se si fa troppo, si studiano un sacco di cose (anche tecniche) che poi risulteranno superflue.
Parlando chiaro: a uno che poi studierà analisi numerica, o matematica discreta, o anche algebra credo, dei gruppi di omotopia gli importerà poco. Allo stesso analista, certamente interesserà capire cosa vuol dire "semplicemente connesso", "genere di una varietà" ma delle dimostrazioni dei teoremi di van kampen non se ne fa un fico secco. Inoltre la topologia algebrica è bella e divertente, ma spesso tecnica, attenta alle patologie che non si incontreranno mai, a volte contosa all'inverosimile. E farla a una triennale potrebbe essere faticoso.
Faccio un esempio stupido: In un corso di topologia algebrica dovrebbe esserci una breve parte dedicata all'omologia/coomologia di varietà, argomento indubbiamente difficile. Quanto sarebbe più facile farle dopo aver seguito un corso di algebra in cui si fa una bella, solida introduzione al linguaggio categoriale, alle sequenze esatte e al diagram chasing? E un corso su queste cose difficilmente lo si trova in una triennale (poi magari mi sbaglio e solo dove l'ho fatta io non è stato fatto).
D'altra parte con corsi troppo specializzati su certe cose si rischia di perdere basi importanti su altri argomenti (io alla triennale ho fatto i gruppi di omotopia ma non ho mai fatto il teorema di Stokes -.-''').
E' solo un'idea..non trafiggetemi.
Parlando chiaro: a uno che poi studierà analisi numerica, o matematica discreta, o anche algebra credo, dei gruppi di omotopia gli importerà poco. Allo stesso analista, certamente interesserà capire cosa vuol dire "semplicemente connesso", "genere di una varietà" ma delle dimostrazioni dei teoremi di van kampen non se ne fa un fico secco. Inoltre la topologia algebrica è bella e divertente, ma spesso tecnica, attenta alle patologie che non si incontreranno mai, a volte contosa all'inverosimile. E farla a una triennale potrebbe essere faticoso.
Faccio un esempio stupido: In un corso di topologia algebrica dovrebbe esserci una breve parte dedicata all'omologia/coomologia di varietà, argomento indubbiamente difficile. Quanto sarebbe più facile farle dopo aver seguito un corso di algebra in cui si fa una bella, solida introduzione al linguaggio categoriale, alle sequenze esatte e al diagram chasing? E un corso su queste cose difficilmente lo si trova in una triennale (poi magari mi sbaglio e solo dove l'ho fatta io non è stato fatto).
D'altra parte con corsi troppo specializzati su certe cose si rischia di perdere basi importanti su altri argomenti (io alla triennale ho fatto i gruppi di omotopia ma non ho mai fatto il teorema di Stokes -.-''').
E' solo un'idea..non trafiggetemi.
[ot]Personalmente ho solo riferito i fatti di cui sono vittima 
e non mi permetto di esprimere giudizi su quanta topologia algebrica si debba fare in un corso di laurea triennale in matematica; ma resto del parere che l'omotopìa e il I gruppo fondamentale dovrebbe essere argomenti insostituibili in un primo corso di topoogia algebrica, cosa che non è avvenuta nel mio caso (per l'esattezza, studiai solo gli spazi quoziente e la definizione di omootpìa in un mezzo corso di 3 crediti -_-)
Se vogliamo allargare il giro, a causa di un maggior numero di corsi a scelta non si può più parlare di argomenti obbligatori in una laurea triennale in matematica! Di questo passo, pure analisi 1 diventerà un esame facoltativo =_=[/ot]
P.S.: Stiamo andando un pò troppo fuori dal seminato...
e non mi permetto di esprimere giudizi su quanta topologia algebrica si debba fare in un corso di laurea triennale in matematica; ma resto del parere che l'omotopìa e il I gruppo fondamentale dovrebbe essere argomenti insostituibili in un primo corso di topoogia algebrica, cosa che non è avvenuta nel mio caso (per l'esattezza, studiai solo gli spazi quoziente e la definizione di omootpìa in un mezzo corso di 3 crediti -_-)Se vogliamo allargare il giro, a causa di un maggior numero di corsi a scelta non si può più parlare di argomenti obbligatori in una laurea triennale in matematica! Di questo passo, pure analisi 1 diventerà un esame facoltativo =_=[/ot]
P.S.: Stiamo andando un pò troppo fuori dal seminato...
non mi permetto di esprimere giudizi su quanta topologia algebrica si debba fare in un corso di laurea triennale in matematica
Io si', tanta. E smentisco con foga l'idea per cui a chi fa analisi numerica non serva la topologia algebrica nella comoda forma dell'omologia computazionale http://www.math.upenn.edu/~ghrist/prepr ... rchief.pdf
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