Dimensione spazio vettoriale
Ciao ragazzi sono nuovo nel forum e mi farebbe piacere se mi aiutasse a comprendere come risolvere esercizi di questo tipo: Si consideri lo spazio vettoriale reale M2(R) delle matrici di ordine 2. Dati i sottospazi:
W = <$((1,0),(−1,2)); ((−2,1),(4,−4)); ((−1,1),(4,1)); ((4,−1),(−6,8))$>
U = {$((−ℎ−3k−4t,ℎ+t),(4ℎ+3k+7t,h−4k−3t))$: h,k,t ∈R }.
Determinare:
a) una base di W e una base di U,
b) il sottospazio (W∩U) e la sua dimensione.
c) il sottospazio (W+U) e la sua dimensione.
Premetto che non ho alcuna difficoltà nello svolgere il calcolo della base e della dimensione per W,mentre non capisco a quale matrice devo fare riferimento per U.Grazie mille.
W = <$((1,0),(−1,2)); ((−2,1),(4,−4)); ((−1,1),(4,1)); ((4,−1),(−6,8))$>
U = {$((−ℎ−3k−4t,ℎ+t),(4ℎ+3k+7t,h−4k−3t))$: h,k,t ∈R }.
Determinare:
a) una base di W e una base di U,
b) il sottospazio (W∩U) e la sua dimensione.
c) il sottospazio (W+U) e la sua dimensione.
Premetto che non ho alcuna difficoltà nello svolgere il calcolo della base e della dimensione per W,mentre non capisco a quale matrice devo fare riferimento per U.Grazie mille.
Risposte
[xdom="vict85"]Algebra lineare è sotto geometria e algebra lineare. Sposto[/xdom]
Grazie e scusa per aver postato nella sezione sbagliata.
Non c'è di che, spostare i messaggi nella sezione opportuna fa parte dei miei compiti come moderatore. L'importante è che le prossime volte lo metti nella sezione giusta. Tra l'altro il tuo è un errore piuttosto comune.
Sarebbe necessario anche un tentativo di risoluzione da parte tua. Comunque ti do una sorta di indizio: le matrici \(2\times 2\) come spazio vettoriale non è altro che uno spazio di dimensione 4 disposto in un certo modo. Come ti comporteresti se avessi il sottospazio \(\displaystyle \langle(1,0,-1,2),\ (-2,1,4,-4),\ (-1,1,4,1),\ (4,-1,-6,8)\rangle \) invece di quel sottospazio delle matrici?
P.S.: Sarebbe inoltre apprezzato se usassi le formule per tutta la formula e non solo per la matrice: facilità la lettura. Insomma per le prossime volte.
"Hijack":
Ciao ragazzi sono nuovo nel forum e mi farebbe piacere se mi aiutasse a comprendere come risolvere esercizi di questo tipo: Si consideri lo spazio vettoriale reale M2(R) delle matrici di ordine 2. Dati i sottospazi:
W = <$((1,0),(−1,2)); ((−2,1),(4,−4)); ((−1,1),(4,1)); ((4,−1),(−6,8))$>
U = {$((−ℎ−3k−4t,ℎ+t),(4ℎ+3k+7t,h−4k−3t))$: h,k,t ∈R }.
Determinare:
a) una base di W e una base di U,
b) il sottospazio (W∩U) e la sua dimensione.
c) il sottospazio (W+U) e la sua dimensione.
Premetto che non ho alcuna difficoltà nello svolgere il calcolo della base e della dimensione per W,mentre non capisco a quale matrice devo fare riferimento per U.Grazie mille.
Sarebbe necessario anche un tentativo di risoluzione da parte tua. Comunque ti do una sorta di indizio: le matrici \(2\times 2\) come spazio vettoriale non è altro che uno spazio di dimensione 4 disposto in un certo modo. Come ti comporteresti se avessi il sottospazio \(\displaystyle \langle(1,0,-1,2),\ (-2,1,4,-4),\ (-1,1,4,1),\ (4,-1,-6,8)\rangle \) invece di quel sottospazio delle matrici?
P.S.: Sarebbe inoltre apprezzato se usassi le formule per tutta la formula e non solo per la matrice: facilità la lettura. Insomma per le prossime volte.
Ti ringrazio ancora per i suggerimenti.Allora il sottospazio che mi hai indicato è quello descritto da W.La dimensione di W la calcolo disponedo per righe i vettori e quindi ottengo la matrice:
$ (((1,0,−1,2), (−2,1,4,−4), (−1,1,4,1), (4,−1,−6,8))$
Riducendo con Gauss ottengo che la sua dimensione è 3.
La cosa che non riesco a spiegarmi è come faccio a calcolare la dimensione di U? Ovvero devo assegnare dei valori arbitari ad h,k,t?
$ (((1,0,−1,2), (−2,1,4,−4), (−1,1,4,1), (4,−1,−6,8))$
Riducendo con Gauss ottengo che la sua dimensione è 3.
La cosa che non riesco a spiegarmi è come faccio a calcolare la dimensione di U? Ovvero devo assegnare dei valori arbitari ad h,k,t?
Beh...
\[\begin{pmatrix} −ℎ−3k−4t & ℎ+t \\ 4ℎ+3k+7t & h−4k−3t \end{pmatrix} = h\begin{pmatrix} −1 & 1 \\ 4 & 1 \end{pmatrix} +
k\begin{pmatrix} −3 & 0 \\ 3 & -4 \end{pmatrix} + t\begin{pmatrix} −4 & 1 \\ 7 & -3 \end{pmatrix}\]
da questo punto in poi però devi lavorare tu.
Il primo pezzo è corretto. Devi ricordarti però di far tornare il tutto in forma matriciale però.
\[\begin{pmatrix} −ℎ−3k−4t & ℎ+t \\ 4ℎ+3k+7t & h−4k−3t \end{pmatrix} = h\begin{pmatrix} −1 & 1 \\ 4 & 1 \end{pmatrix} +
k\begin{pmatrix} −3 & 0 \\ 3 & -4 \end{pmatrix} + t\begin{pmatrix} −4 & 1 \\ 7 & -3 \end{pmatrix}\]
da questo punto in poi però devi lavorare tu.
Il primo pezzo è corretto. Devi ricordarti però di far tornare il tutto in forma matriciale però.
Grazie mille!Credo di aver capito per esserne certo ti chiedo.Hai associato alla matrice i vettori assegnata i vettori $ <(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)> $ nel caso avessi avuto 4 parametri,averei dovuto associare l'intera base canonica giusto?
Tornando all'esercizio risolvendo con Gauss la seguente matrice: $((-1,1,4,1), (-3,0,3,−4), (-4,1,7,-3))$ ottengo che la dimensione di U è 3.Dovrebbe essere corretto.Il resto dell'esercizio so come svolgerlo applicando la forumla di Grassmann.Grazie mille,molto gentile!Un saluto.
Tornando all'esercizio risolvendo con Gauss la seguente matrice: $((-1,1,4,1), (-3,0,3,−4), (-4,1,7,-3))$ ottengo che la dimensione di U è 3.Dovrebbe essere corretto.Il resto dell'esercizio so come svolgerlo applicando la forumla di Grassmann.Grazie mille,molto gentile!Un saluto.
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