Dimensione spazio normato con chiusi limitati compatti
Ciao, amici!
Trovo nel mio libro di analisi che uno spazio vettoriale normato in cui tutti e soli i sottoinsiemi chiusi e limitati siano insiemi compatti è necessariamente di dimensione finita, ma non c'è una dimostrazione del fatto. In rete non trovo direttamente niente.
Qualcuno potrebbe essere così gentile da segnalarmi qualche link a pagine contenenti la dimostrazione (anche in inglese) o riportare qui una dimostrazione?
Grazie di cuore a tutti!!!
Trovo nel mio libro di analisi che uno spazio vettoriale normato in cui tutti e soli i sottoinsiemi chiusi e limitati siano insiemi compatti è necessariamente di dimensione finita, ma non c'è una dimostrazione del fatto. In rete non trovo direttamente niente.
Qualcuno potrebbe essere così gentile da segnalarmi qualche link a pagine contenenti la dimostrazione (anche in inglese) o riportare qui una dimostrazione?
Grazie di cuore a tutti!!!
Risposte
Si può dimostrare che se la palla unitaria chiusa è compatta allora lo spazio è di dimensione finita. Non è difficilissimo, domani se ho tempo te lo scrivo.
Allora, il fatto che in uno spazio vettoriale normato (reale, come tutti quelli di cui parlerò) di dimensione finita i compatti siano esattamente i chiusi e limitati immagino che tu già lo conosca. Un'altra cosa che utilizzerò è il fatto che, fissato un raggio positivo, uno spazio compatto è ricopribile con un numero finito di palle di quel raggio.
Cominciamo.
Lemma: Sia $E$ è uno spazio vettoriale normato e $F$ un suo sottospazio di dimensione finita.
Se $yinE$, allora esiste $zinF$ tale che $||y-z||=d(y,F)$.
(Ricordo che per definizione $d(y,F)=i nf_(x in F)||y-x||$).
Dimostrazione: Siccome $0inF$, chiaramente $d(y,F)<=||y-0||=||y||$.
Sia $B={x in E, ||y-x||<=||y||}$ la palla chiusa di centro $y$ e raggio $||y||$. Per quello che abbiamo detto, sarà sufficiente cercare l'inf in $BnnF$.
$BnnF$ è un sottoinsieme chiuso e limitato dello spazio vettoriale di dimensione finita $F$, dunque è compatto, ed è non vuoto perché $0$ vi appartiene.
Siccome la distanza dal punto fissato $y$ è una funzione continua, essa ammette minimo su $BnnF$, ossia esiste $z in BnnF$ tale che $||y-z||=i nf_(x in BnnF)||y-x||$.
Allora $||y-z||=d(y,F)$.
Stasera metto la dimostrazione del teorema, intanto se passi da queste parti dimmi se più o meno mi stai seguendo!
Cominciamo.
Lemma: Sia $E$ è uno spazio vettoriale normato e $F$ un suo sottospazio di dimensione finita.
Se $yinE$, allora esiste $zinF$ tale che $||y-z||=d(y,F)$.
(Ricordo che per definizione $d(y,F)=i nf_(x in F)||y-x||$).
Dimostrazione: Siccome $0inF$, chiaramente $d(y,F)<=||y-0||=||y||$.
Sia $B={x in E, ||y-x||<=||y||}$ la palla chiusa di centro $y$ e raggio $||y||$. Per quello che abbiamo detto, sarà sufficiente cercare l'inf in $BnnF$.
$BnnF$ è un sottoinsieme chiuso e limitato dello spazio vettoriale di dimensione finita $F$, dunque è compatto, ed è non vuoto perché $0$ vi appartiene.
Siccome la distanza dal punto fissato $y$ è una funzione continua, essa ammette minimo su $BnnF$, ossia esiste $z in BnnF$ tale che $||y-z||=i nf_(x in BnnF)||y-x||$.
Allora $||y-z||=d(y,F)$.
Stasera metto la dimostrazione del teorema, intanto se passi da queste parti dimmi se più o meno mi stai seguendo!
Qui ne avevo dato una dimostrazione, a suo tempo (per risparmiare la fatica di ridigitare tutto a yellow).
Ahah vabbè io in realtà mi diverto, a questo punto credo che finirò. Poi non è esattamente la stessa dimostrazione, anche se mi sembra moralmente molto simile!
Quindi tutto ciò vale in spazi vettoriali normati su campi qualsiasi? Io mi sono limitato ai reali perché sono gli unici che abbia mai incontrato. Lì da te poi viene citato il signor Banach, ma la completezza non serve, giusto?
Quindi tutto ciò vale in spazi vettoriali normati su campi qualsiasi? Io mi sono limitato ai reali perché sono gli unici che abbia mai incontrato. Lì da te poi viene citato il signor Banach, ma la completezza non serve, giusto?
Se con campi qualsiasi intendi reali o complessi, allora sì. Il campo di base deve essere per lo meno completo, direi.
$+oo$ grazie a tutti e due, Yellow e Maurer!!!
Sì: il teorema di Heine-Cantor.
OK: fin qui ci sono. Grazie ancora!!!
"yellow":
Allora, il fatto che in uno spazio vettoriale normato (reale, come tutti quelli di cui parlerò) di dimensione finita i compatti siano esattamente i chiusi e limitati immagino che tu già lo conosca.
Sì: il teorema di Heine-Cantor.
"yellow":
dimmi se più o meno mi stai seguendo!
OK: fin qui ci sono. Grazie ancora!!!
Teorema: Sia $E$ uno spazio vettoriale normato. Se la palla unitaria chiusa $B={x in E, ||x||<=1}$ è compatta, allora $E$ è di dimensione finita.
Dimostrazione: Siccome $B$ è compatta, esiste un numero finito di punti $x_1$,..., $x_n$tali che $Bsubuuu_{i=1}^nB(x_i,1)$ (stiamo parlando ovviamente di palle aperte).
Mostriamo che allora $x_1$,..., $x_n$ generano $E$.
Sia $F=Vect(x_1,..., x_n)$ lo spazio generato da questi punti. Preso $yinE$, dobbiamo far vedere che $yinF$.
Per il lemma, esiste $zinF$ tale che $||y-z||=d(y,F)$. Mostreremo che $y=z$.
Se per assurdo $y!=z$, possiamo considerare il vettore unitario $(y-z)/||y-z||$, che essendo in $B$ dovrà appartenere a una delle palle $B(x_i,1)$. Supponiamo dunque $||(y-z)/||y-z||-x_i||<1$.
Moltiplicando per $||y-z||$ troviamo $||y-(z+||y-z||x_i)||<||y-z||=d(y,F)=i nf_(x inF)||y-x||$, il che è assurdo perché $(z+||y-z||x_i)inF$.
Se ti serve domani aggiungo la dimostrazione dell'esistenza del ricoprimento con un numero finito di palle di raggio fissato.
Sì: il teorema di Heine-Cantor.
[/quote]
Di Heine-Borel di solito, Heine-Cantor è quello dell'uniforme continuità di una funzione continua su un compatto.
Dimostrazione: Siccome $B$ è compatta, esiste un numero finito di punti $x_1$,..., $x_n$tali che $Bsubuuu_{i=1}^nB(x_i,1)$ (stiamo parlando ovviamente di palle aperte).
Mostriamo che allora $x_1$,..., $x_n$ generano $E$.
Sia $F=Vect(x_1,..., x_n)$ lo spazio generato da questi punti. Preso $yinE$, dobbiamo far vedere che $yinF$.
Per il lemma, esiste $zinF$ tale che $||y-z||=d(y,F)$. Mostreremo che $y=z$.
Se per assurdo $y!=z$, possiamo considerare il vettore unitario $(y-z)/||y-z||$, che essendo in $B$ dovrà appartenere a una delle palle $B(x_i,1)$. Supponiamo dunque $||(y-z)/||y-z||-x_i||<1$.
Moltiplicando per $||y-z||$ troviamo $||y-(z+||y-z||x_i)||<||y-z||=d(y,F)=i nf_(x inF)||y-x||$, il che è assurdo perché $(z+||y-z||x_i)inF$.
Se ti serve domani aggiungo la dimostrazione dell'esistenza del ricoprimento con un numero finito di palle di raggio fissato.
"DavideGenova":
[quote="yellow"]Allora, il fatto che in uno spazio vettoriale normato (reale, come tutti quelli di cui parlerò) di dimensione finita i compatti siano esattamente i chiusi e limitati immagino che tu già lo conosca.
Sì: il teorema di Heine-Cantor.
[/quote]
Di Heine-Borel di solito, Heine-Cantor è quello dell'uniforme continuità di una funzione continua su un compatto.
Grazie di cuore!!! Se non ti disturbi troppo, se aggiungi la dimostrazione dell'esistenza del ricoprimento finito, non potrei che leggerla con molto interesse...
$uu_{i=1}^{oo} {"grazie"}_i$
$uu_{i=1}^{oo} {"grazie"}_i$
Intanto aggiungo che la fonte è un corso che ho seguito qui in Francia, forse la dimostrazione è presa da "Real and functional analysis" di Serge Lang o da "Cours de calcul différentiel" di Henri Cartan, ma devo verificare.
La totale limitatezza di uno spazio metrico compatto in realtà potresti provare a dimostrarla da solo. Se conosci la caratterizzazione dei compatti con i sottoricoprimenti (ossia la definizione che si generalizza bene agli spazi topologici generici) è banale, altrimenti con la compattezza per successioni devi lavorare per assurdo cercando una successione senza punti di accumulazione.
Chiedo ai moderatori: per la consultazione futura non è meglio che sia spostato nella sezione più consona ossia in quella di analisi?
La totale limitatezza di uno spazio metrico compatto in realtà potresti provare a dimostrarla da solo. Se conosci la caratterizzazione dei compatti con i sottoricoprimenti (ossia la definizione che si generalizza bene agli spazi topologici generici) è banale, altrimenti con la compattezza per successioni devi lavorare per assurdo cercando una successione senza punti di accumulazione.
Chiedo ai moderatori: per la consultazione futura non è meglio che sia spostato nella sezione più consona ossia in quella di analisi?
Ho trovato una dimostrazione dell'equivalenza della compattezza tout court e di quella sequenziale qui.
Grazie ancora, Yellow!!!
Grazie ancora, Yellow!!!
In realtà quel pezzo non l'avevo tralasciato per pigrizia ma perché mi sembrava istruttivo che prima di tutto ci provassi a pensare da solo. 
Sì sì, però, dopo aver cercato una soluzione per conto mio, normalmente, per non finire con il convircermi di qualcosa di sbagliato, cerco su Internet o altrove una conferma alle mie supposizioni. Non dai affatto l'impressione di essere pigro: la dimostrazione con mi cui mi hai aiutato mi è stata utilissima e non sai quanto te ne sono grato!!!
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