Dimensione sottospazionvettoriale

[Licia9]

Sto facendo l'esercizio seguente

Trovare la dimensione del sottospazio U di $R^3$ generato da {u1(2,2,4), U2(2,-3,-1),U3(3,-2,1)}
Stabilire se w(1,1,2) appartiene ad U e in caso alternativo esprimerlo come combinazione lineare di {u1,u2,u3}

Dunque

per trovare la dimensione dello spazio ho ragionato nel modo seguente

Dato che la dimensione dello spazio è data dal numero di elementi della base, trovo una base e ne calcolo la dimensione, che è data dal numero di vettori linearmente indipendenti.. fino a qui è ok?

[mistake89]

sì è corretto.

[Licia9]

per la base devo ridurre a scalini la matrice formata da u1,u2,u3 e poi prendere quelli linearmente indipendenti?

$((2,2,4),(2,-3,-1),(3,-2,1))$

[CRIz1]

semplificando la matrice con gauss si trovano 2 vettori proporzionali, ovvero u2 e u3
Quindi il rango della matrice è 2, e la dimensione del sottospazio U è 2? giustooo?

poi per esprimere w come combinazione lineare di {u1,u2,u3} ho risolto il sistema che nasce da:

a*(u1)+b*(u2)+c*(u3)=w
a*(2,2,4)+b*(2,-3,-1)+c*(3,-2,1)=(1,1,2)

ora guardando i numeri si vede che w è la metà di u1... quindi senza creare il sistema se metto a=1/2 b=0 e c=0 ho trovato le soluzioni.. (1/2, 0, 0)
Finito l'esercizio giusto?