Dimensione sottospazio vettoriale

[abaco90]

Ciao a tutti, ho i seguenti vettori $ v1 = (1, -3, 7) $ $ v2 = (2, -1, -1) $ $ v3 = (-4, 2, 2) $ e devo determinare la dimensione del sottospazio vettoriale di $ R^3 $ generato da $v1, v2, v3$.
Come faccio?? Grazie

[cooper1]

devi estrarre una base dal generatore. per farlo basta che metti i vettori a formare le colonne/righe di una matrice e la riduci con Gauss. le colonne della matrice non ridotta che corrispondono alle colonne dove ci sono i pivot sono i vettori che formano la base. facciamo questo perché $ dim U = #\mathcal(B)_U $ dove $U$ è un sottospazio vettoriale e $ #$ indica la cardinalità di un insieme.

[abaco90]

Ciao grazie della risposta,

quindi questa è la matrice di partenza

\begin{matrix}1 & 2 & -4 \\ -3 & -1 & 2 \\ 7 & -1 & 2\end{matrix}

e ottengo

\begin{matrix}1 & 2 & -4 \\ 0 & 5 & -10\\ 0 & 0 & 0\end{matrix}

quindi x, y e z sono tutti 3 uguali a 0. è corretto?

Come capisco ora la dimensione del sottospazio vettoriale?

[cooper1]

no. la matrice l'hai correttamente ridotta. da questa si evince che i pivot sono 2 (1 e 5). questi interessano la prima e la seconda colonna, indi per cui una base di $U$ è data da $ \mathcal(B)_U = {(1,-3,7)^T,(2,-1,-1)^T} $
la dimensione è quindi pari a 2!

[abaco90]

Ah quindi devo prendere i primi elementi non nulli per ogni riga, quindi ne ho 2 dato che nella terza riga ho tutti 0 ?

[cooper1]

"abaco90":i primi elementi non nulli per ogni riga

è esattamente la definizione di pivot. le colonne dove sono presenti i pivot sono le colonne linearmente indipendenti. se quindi prendi queste colonne e sapendo che i vettori generano $U$ allora ottieni un sistema di generatori linearmente indipendente, che non è nient'altro che una base.
il numero di vettori che compongono la base corrisponde infine alla dimensione del sottospazio vettoriale.

[abaco90]

ottimo grazie mille!

[cooper1]

prego